2019-2020学年高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2 复数的四则运算课件 北师大版选修

§2复数的四则运算一、归纳总结·核心必记1．加(减)法法则设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意复数，则(a＋bi)±(c＋di)＝.2．运算律对任意的z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝(交换律)(z1＋z2)＋z3＝(结合律)．(a±c)＋(b±d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)3．复数的乘法(1)定义：(a＋bi)(c＋di)＝.(2)运算律：①对任意z1，z2，z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)i交换律z1·z2＝结合律(z1·z2)·z3＝乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3②复数的乘方：任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有zmzn＝，(zm)n＝，(z1z2)n＝.zm＋nzmnzn1zn24．共轭复数当两个复数的相等，互为相反数时，这样的两个复数叫做．复数z的共轭复数用z来表示，也就是当z＝a＋bi时，z＝.于是zz＝a2＋b2＝.5．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则z1z2＝a＋bic＋di＝_________________i(c＋di≠0)．实部虚部共轭复数a－bi|z|2ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2二、基本技能·素养培优1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．()(4)两个共轭复数的差为纯虚数．()(5)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.()×××√×2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于()A．8iB．6C．6＋8iD．6－8i答案：B3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA―→和OB―→，其中O为坐标原点，则|AB―→|等于()A.2B．2C.10D．4答案：B4．已知i是虚数单位，则3＋i1－i＝()A．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2i答案：D5．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝________.答案：－11考点一复数的加减运算[典例]计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．[解](1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.[类题通法]复数加、减运算的方法技巧：(1)复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减；(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．[针对训练]1．计算：(1＋2i)＋(－2－3i)－(3－2i)．解：(1＋2i)＋(－2－3i)－(3－2i)＝[－1＋(2－3)i]－(3－2i)＝－4＋(2＋2－3)i.2．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，求实数x，y的值．解：原式化为3y－10yi＋(－2x＋xi)＝1－9i.即(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i.∴3y－2x＝1，x－10y＝－9，∴x＝1，y＝1.考点二复数的四则运算[典例]计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＋i5；(4)3－4i2＋2i24＋3i＋1－i1＋i2.[解](1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.(3)原式＝－2＋3i1＋2i＋i5＝－2＋3i1－2i1＋2i1－2i＋(i2)2·i＝4＋7i5＋i＝45＋125i.(4)3－4i2＋2i24＋3i＋1－i1＋i2＝3－4i·8i4＋3i＋－2i2i＝84＋3i4＋3i－1＝8－1＝7.[类题通法](1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式的乘法法则进行，注意把i2化成－1，进行最后结果的化简；复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行化简．(2)im(m∈N＋)具有周期性，且最小正周期为4，则①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)；②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)．[针对训练]1．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()A．－1＋iB.－1－iC.1＋iD.1－i解析：z＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋I.答案：A2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4B.－45C．4D.45解析：因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以已知等式为(3－4i)z＝5，即z＝53－4i＝53＋4i3－4i3＋4i＝53＋4i25＝3＋4i5＝35＋45i，所以复数z的虚部为45.答案：D3．计算：(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；(2)2＋2i34＋5i5－4i1－i.解：(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝24－8i－6i－2＋28－21i－4i－3＝47－39i.(2)2＋2i34＋5i5－4i1－i＝221＋i3i5－4i5－4i1－i＝221＋i4i2＝2(1＋i)4i＝2i[(1＋i)2]2＝2i(2i)2＝－42i.考点三共轭复数[典例]已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则zz＝________.[解析]因为(1＋2i)z＝4＋3i，所以z＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i5＝2－i，故z＝2＋i，zz＝2－i2＋i＝2－i25＝3－4i5＝35－45i.[答案]35－45i[类题通法]已知关于z和z的方程，求z的问题，解题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解．[针对训练]1．复数z＝－3＋i2＋i的共轭复数是()A．2＋iB．2－iC．－1＋iD．－1－i解析：z＝－3＋i2＋i＝－3＋i2－i2＋i2－i＝－1＋i，所以z＝－1－i.答案：D2．设z＝1－i(i是虚数单位)，则复数2z＋z2·z＝________.解析：对于2z＋z2＝21－i＋(1－i)2＝1＋i－2i＝1－i，故2z＋z2·z＝(1－i)(1＋i)＝2.答案：23．已知复数z1＝5＋i，z2＝i－3，且1z＝z1＋z2，求复数z.解：由已知得：z1＝5－i，z2＝－3－i，∴1z＝z1＋z2＝(5－i)＋(－3－i)＝2－2i，∴z＝12－2i＝12×11－i＝14＋14i.