2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间

知识导图学法指导1.结合长方体、正棱锥等常见几何体，把握建系的方法，并能写出空间中的点在坐标系中的坐标．2．类比平面上两点间的距离，熟记空间两点间的距离公式．3．体会利用空间直角坐标系解决问题的步骤．高考导航1.空间直角坐标系的应用很少单独命题，一般是在解答题中应用建立空间直角坐标系的方法求解，分值为2～3分．2．通过建立空间直角坐标系，计算两点间的距离公式或确定点的坐标，是常考知识点，常与后面将要学习的立体几何等知识相结合，分值为4～6分.知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：________________，这样就建立了一个____________________.②相关概念：______叫作坐标原点，________________叫作坐标轴，通过______________的平面叫作坐标平面，分别称为______平面、______平面、______平面．x轴、y轴、z轴空间直角坐标系O­xyz点Ox轴、y轴、z轴每两个坐标轴xOyyOzzOx(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_____的正方向，食指指向_____的正方向，如果中指指向_____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．x轴y轴z轴2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用____________________来表示，__________________叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中____叫作点M的横坐标，____叫作点M的纵坐标，____叫作点M的竖坐标．有序实数组(x，y，z)有序实数组(x，y，z)M(x，y，z)xyz空间直角坐标系的画法(1)x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．(2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的12.知识点二空间两点间的距离公式1．空间中任意一点P(x，y，z)与原点之间的距离|OP|＝________；2．空间中任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝________________________.1.空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．2．空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P(x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22).x2＋y2＋z2x2－x12＋y2－y12＋z2－z12[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．()(2)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式．()(3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz平面的对称点为(－1，3，2)．()×√√2．在空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz平面内的是()A．(3,2,1)B．(2,0,0)C．(5,0,2)D．(0，－1，－3)解析：位于yOz平面内的点，其x坐标为0，其余坐标任意，故(0，－1，－3)在yOz平面内．答案：D3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．zOx平面上D．第一象限内解析：点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx平面上．答案：C4．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为()A．43B．23C．42D．32解析：|AB|＝－3－12＋－3－12＋－3－12＝43.答案：A类型一空间中点的坐标的确定例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．【解析】如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O­xyz.因为长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，所以A(3,0,0)；C在y轴上，所以C(0,5,0)；D1在z轴上，所以D1(0,0,4)；B在xOy平面内，所以B(3,5,0)；A1在xOz平面内，所以A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，所以C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，所以B1的竖坐标为4，所以B1(3,5,4).(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)利用线段长度结合符号写出各点坐标．要注意与坐标轴正向相反的坐标为负．方法归纳(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．跟踪训练1在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．解析：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，OO1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，OO1⊥BO，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝12，OB＝32，∵点A，B，C均在坐标轴上，∴A0，－12，0，B32，0，0，C0，12，0.∵点A1，C1在yOz平面内，∴A10，－12，1，C10，12，1.∵点B1在xOy平面内的射影为点B，且BB1＝1，∴B132，0，1，∴各点的坐标分别为A0，－12，0，B32，0，0，C0，12，0，A10，－12，1，B132，0，1，C10，12，1.建立空间直角坐标系，求出有关线段的长，再写出各点的坐标．类型二空间直角坐标系中的点的对称点例2在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴对称的点P1的坐标是_________________；关于xOy平面对称的点P2的坐标是______________；关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标是______________．(－2，－1，－4)(－2,1，－4)(4，－1,0)【解析】点P关于x轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标均变为原来的相反数，所以点P关于x轴的对称点P1的坐标为(－2，－1，－4)．点P关于xOy平面对称后，它的横坐标和纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点P关于xOy平面的对称点P2的坐标为(－2,1，－4)．设点P关于点A的对称点的坐标为P3(x，y，z)，由中点坐标公式可得－2＋x2＝1，1＋y2＝0，4＋z2＝2，解得x＝4，y＝－1，z＝0.故点P关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标为(4，－1,0)．【答案】(－2，－1，－4)(－2,1，－4)(4，－1,0)利用对称规律解决关于坐标轴、坐标平面的对称问题，利用中点坐标公式解决点关于点的对称问题．方法归纳在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有：①点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，－z)⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(－x，y，z)⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x，－y，z)．跟踪训练2已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4.解析：由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).方法归纳求对称点的坐标问题一般依据“关于谁对称谁不变，其余均改变”来解决．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．要特别注意：点关于点的对称要用中点坐标公式解决．类型三空间两点间的距离,,例3如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．【解析】由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以Ma2，a2，a2，O′a2，a2，a.因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故Na4，34a，a.根据空间两点间的距离公式，可得|MN|＝a2－a42＋a2－3a42＋a2－a2＝64a.建立空间直角坐标系，先确定相关点的坐标，然后根据两点间的距离公式求解．方法归纳求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．跟踪训练3求A(0,1,3)，B(2,0,1)两点之间的距离．解析：|AB|＝0－22＋1－02＋3－12＝3.解答本题可直接利用空间两点间的距离公式.