2019-2020学年高中数学 第四章 函数应用 1 1.2 利用二分法求方程的近似解课件 北师大版

第四章函数应用§1函数与方程1.2利用二分法求方程的近似解自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．了解二分法原理，熟练掌握二分法的解题步骤．2．能将本节知识与方程、不等式结合起来，解决一些实际问题．3．培养利用计算机或计算器解决问题的能力.1．对于在区间[a，b]上__________且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．连续不断f(a)·f(b)0一分为二逐步逼近零点练一练：用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间为()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]解析：∵f(－2)＝－3，f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝6，f(2)＝13，∴初始区间可选为[－2,1]．答案：A2．设x^是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足________________，就称x0是满足精确度ε的近似解．|x0－x^|ε1．求函数零点的近似值时，结果能否不同？答：求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不同．2．用二分法求函数零点的近似值应注意哪些问题？答：用二分法求函数零点的近似值，要选好计算的初始区间，一般选定在两个整数间，这个区间既要符合条件又要使其长度尽可能小．典例精析规律总结2课堂互动探究下列函数中，不能用二分法求零点的是()【答案】B【方法总结】用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则：(1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．下列函数中，能用二分法求零点的是()A．f(x)＝log2xB．f(x)＝－x2C．f(x)＝x2D．f(x)＝|x|解析：函数f(x)＝log2x的零点是1，当x1时，f(x)0，当0x1时，f(x)0，因此可用二分法求零点，而对B、C、D来讲三个函数的零点都是0，且在0的两边，函数值同号，不能用二分法求零点．答案：A试判断方程x3＋3x－5＝0在区间(0,3)内是否有实数解？若有，求出该解的近似值(精确到0.01)．【解】设函数f(x)＝x3＋3x－5，由于f(0)＝－50，f(3)＝310，因此f(0)·f(3)0，所以f(x)在(0,3)内至少存在一个零点，即原方程在(0,3)内必有实数解．以下用二分法求方程在(0,3)内的近似解．由于f(1)＝－10，f(2)＝90，所以方程的解又必在区间(1,2)内，故可取区间(1,2)为计算的初始区间．用二分法逐次计算，将方程的解所在的区间依次求出，列表如下：计算次数左端点右端点112211.5311.2541.1251.2551.1251.187561.1251.1562571.1406251.1562581.14843751.1562591.152343751.15625101.152343751.154296875由上表可知，区间[1.15234375,1.154296875]中的每一个数都精确到0.01，都等于1.15，所以1.15就是方程精确到0.01的近似解．【方法总结】用二分法求方程的近似解时先根据图像或函数性质得到初始区间，然后取区间中点，求中点函数的值，再取其中一个子区间，如此循环，直到区间两端的近似值相等为止．当然，如果在求中点函数值时结果恰为0，则运算立即终止，中点值就是方程的近似解．计算过程中要注意对依次得到的区间进行精确度的判断．求方程lgx＝3－x的近似解(精确到0.1)．解：令f(x)＝lgx＋x－3，在同一坐标系中，作出y＝lgx和y＝3－x的图像如图所示，观察图像可以发现lgx＝3－x有唯一解x0，x0∈[2,3]，且f(2)0，f(3)0，利用二分法可列下表：计算次数左端点右端点12322.5332.52.7542.52.62552.56252.625由于区间(2.5625,2.625)内的所有值若精确到0.1都为2.6，所以原方程的近似解为2.6.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？【解】如图．他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50～100m之间，即一两根电线杆附近．【方法总结】现实生活中的线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等故障我们也可以采用二分法进行排查，即采用中点查找法．竞猜物体问题或将人员分配到不同的岗位来共同完成任务，需要把有限的资金分配到不同生产企业，如何使时间最短、利润最高，这都需要用二分法来解决．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量轻一点)．现在只有一台天平，要想找出这枚假币，最多要称几次？解：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．若函数的零点存在，则用二分法求函数的零点时，所求的零点()A．一定是近似值B．一定不是近似值C．一定不是准确值D．可以是准确值【错解】A【错因分析】二分法求函数的零点，得到的可能是近似值，也可能是准确值．【正解】D即学即练稳操胜券3基础知识达标1．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．答案：B2．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2)B．(3,4)C．(2,3)D．(4,5)答案：C3．在用“二分法”求函数ƒ(x)零点的近似值时，第一次所取的区间为[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[2,1]C．－2，52D．－12，1解析：由“二分法”知，第一次取的区间为[－2,4]，则第二次取的区间可能是[－2,1]或[1,4]，则第三次取的区间可能是－2，－12或－12，1，1，52或52，4，结合选项知，应选D．答案：D4．用二分法求函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)0，f(0.5)0，第二次应计算f(x1)，则x1＝________.解析：∵f(0)0，f(0.5)0，∴f(0)f(0.5)0，∴f(x)的零点属于区间(0,0.5)，取中点x1＝0＋0.52＝0.25.答案：0.255．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解(精确到0.01)，验证f(2)·f(4)0，取区间(a，b)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0∈________(填区间)．答案：(2,3)