2019-2020学年高中数学 第四章 函数应用 1 1.1 利用函数性质判定方程解的存在课件 北师

第四章函数应用§1函数与方程1．1利用函数性质判定方程解的存在自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．了解函数零点的概念、求法．2．理解零点的性质，会判断函数零点的存在性.1．我们把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的________称为这个函数的零点．f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．横坐标练一练：函数y＝4x－2的零点是()A．2B．(－2,0)C．12，0D．12解析：由4x－2＝0得x＝12.答案：D2．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值__________，即____________，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．符号相反f(a)·f(b)0练一练：已知函数y＝f(x)的定义域为R，图像连续不断，若计算得f(1)0，f(2)0，f(3)0，则可以确定零点所在区间为________．答案：(2,3)1．怎样理解函数的零点？答：函数的零点是一个实数，其对应函数值等于零，即函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根．2．判断函数零点存在性应注意哪些方面？答：(1)该判定方法只是指出了方程实数解的存在，但不能判断具体有多少个实数解．(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，且函数f(x)在(a，b)内有零点，但不一定满足f(a)·f(b)0.(3)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，且f(a)·f(b)0，则f(x)在(a，b)内也可能存在零点．典例精析规律总结2课堂互动探究求下列函数的零点．(1)y＝－x2＋x＋6；(2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)．【解】(1)令y＝0，得：－x2＋x＋6＝0，∴(x＋2)(－x＋3)＝0，解得：x1＝－2，x2＝3，所以，函数y＝－x2＋x＋6的零点是－2,3.(2)令y＝0，得(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，∴x2－2＝0或x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝－2，x3＝1，x4＝2，所以函数y＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点是－2，2，1,2.【方法总结】函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的根，求函数零点可转化为解方程问题．求下列函数的零点．(1)f(x)＝2x2－5x＋1；(2)f(x)＝(2x－1)(x－2)(3x＋1)．解：(1)因为2x2－5x＋1＝0的根为x1,2＝－b±b2－4ac2a＝5±174∴函数的零点为5＋174和5－174.(2)由(2x－1)(x－2)(3x＋1)＝0得x－12(x－2)x＋13＝0所以函数的零点为：－13，12，2.已知函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，求g(x)＝bx2－ax的零点．【解】∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0，∴ab＝－12.令g(x)＝0即bx2－ax＝0，解得x＝0或x＝ab＝－12，因此，g(x)＝bx2－ax的零点是0和－12.【方法总结】已知函数的零点，可代入对应方程，从而找到某些字母的关系，进一步求解．已知二次函数f(x)＝x2＋mx－3的两个零点为－1和n.(1)求m，n的值；(2)若f(3)＝f(2a－3)，求a的值．解：(1)因为二次函数f(x)＝x2＋mx－3的两个零点为－1和n，所以，－1和n是方程x2＋mx－3＝0的两个根．则－1＋n＝－m，(－1)×n＝－3，所以m＝－2，n＝3.(2)因为函数f(x)＝x2－2x－3的对称轴为x＝1.若f(3)＝f(2a－3)，则3＋2a－32＝1或2a－3＝3，得a＝1或a＝3.综上，a＝1或a＝3.函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．1，1e和(3,4)D．(e，＋∞)【解析】易知f(x)在其定义域上为增函数，∵f(1)＝－20，f(2)＝ln2－10，∴在(1,2)内f(x)无零点，A错误；又f(3)＝ln3－230，∴f(2)·f(3)0，∴f(x)在(2,3)内有一个零点．故选B．【答案】B【方法总结】这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．函数ƒ(x)＝x2－12|x|的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解析：令ƒ(x)＝0，得x2＝12|x|在同一坐标系里分别作出y＝x2与y＝12|x|的图像知，它们有2个交点，即函数ƒ(x)有2个零点．答案：C实数a在什么范围内取值时，函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点位于区间(－2,0)内，另一个零点位于区间(1,3)内．【解】由题意可得f－2·f00，f1·f30，即22＋aa0，a－2a＋120，解得－12a0.所以a的取值范围是(－12,0)．【方法总结】根据零点的概念，把已知条件转化为判断某些函数值正负问题，进一步得到不等式(组)来求解．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的值．解：若a＝0，则f(x)＝－x－1，显然f(x)有一个零点－1；若a≠0，则f(x)＝ax2－x－1是二次函数，它只有一个零点，亦即方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根，故Δ＝1＋4a＝0，得a＝－14.综上，实数a的值为0或－14.已知函数y＝f(x)的图像在闭区间[a，b]上为一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＞0，则函数f(x)在(a，b)内()A．肯定没有零点B．至多有一个零点C．可能有两个零点D．以上说法均不正确【错解】根据函数零点的判定定理可知，选A．【错因分析】当函数在闭区间[a，b]上为一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0时，函数在(a，b)内至少存在一个零点．但是若不满足上述条件中的任何一个，则函数未必不存在零点．【正解】C不妨设y＝f(x)＝x2－1，区间[a，b]为[－2,2]，则f(－2)·f(2)＞0，但是y＝f(x)在区间(－2,2)内存在两个零点－1,1，则可以排除选项A，B，D，故选C．即学即练稳操胜券3基础知识达标1．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)0，f(1)0，f(2)0，则加上下列哪个条件可确定f(x)有唯一零点()A．f(3)0B．函数在定义域内为增函数C．f(－1)0D．函数在定义域内为减函数答案：D2．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．无法判断解析：f(x)在区间[0,4]上的单调性无法确定，∴f(0)·f(4)的值无法判断．答案：D3．函数ƒ(x)＝lnx＋2x－7的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：∵f(x)＝lnx＋2x－7的图像在(0，＋∞)上是递增的，且ƒ(2)＝ln2－30，ƒ(3)＝ln3－10，∴ƒ(x)在区间(2,3)上有唯一的零点．答案：C4．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是()A．a－1B．a1C．－1a1D．0≤a1解析：设f(x)＝2ax2－x－1，则f(0)·f(1)0，－1·(2a－2)0，∴a1.答案：B5．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．解：由题意知1＋2＝－3m＋1，1×2＝n，解得m＝－2，n＝2.∴y＝log2(－2x＋1)，由log2(－2x＋1)＝0得－2x＋1＝1，解得x＝0.∴函数y＝logn(mx＋1)的零点为0.