2019-2020学年高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用课件 北师大版选修2-2

§3定积分的简单应用一、预习教材·问题导入如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x＝a，x＝b和y＝f(x)围成的曲边梯形面积S1＝abf(x)dx，再求由x＝a，x＝b和y＝g(x)围成的曲边梯形面积S2＝abg(x)dx，则所求阴影部分面积为S1－S2.二、归纳总结·核心必记平面图形的面积一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则S＝abf(x)dx－abg(x)dx，f(x)≥g(x)．三、综合迁移·深化思维1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为01x3dx＋12(2－x)dx.()(2)曲线y＝3－x2与直线y＝－1围成的图形面积为-22(4－x2)dx.()(3)速度是路程与时间的函数关系的导数．()(4)一个物体在2≤t≤4时，运动速度为v(t)＝t2－4t，则它在这段时间内行驶的路程为24(t2－4t)dt.()√√√×2．由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围图形的面积为()A.154B.174C.12ln2D．2ln2答案：D3．由y＝x2，y＝14x2及x＝1围成的图形的面积S＝()A.14B．12C.13D．1答案：A4．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c0)围成图形的面积是23，则c等于()A.13B．12C．1D.23答案：B考点一不分割型图形面积的求解[典例]求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．[解]由y＝x2－4，y＝－x＋2，得x＝－3，y＝5，或x＝2，y＝0，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3，5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝-32(－x＋2)dx－-32(x2－4)dx＝2x－12x22-3－13x3－4x2-3＝252－－253＝1256.[类题通法]求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)求交点，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．[针对训练]1．由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32D.3解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分33cosxdx＝sinx33＝32－－32＝3.答案：D2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．22B．42C．2D．4解析：由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为024x－x3dx＝2x2－14x420＝4.答案：D3．计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y2＝x，y＝x3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组y2＝x，y＝x3得交点的横坐标x＝0，x＝1，因此所求图形面积为S＝01xdx－01x3dx＝23x3210－14x410＝23－14＝512.考点二分割型图形面积的求解[典例]求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．[解]作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由xy＝1，y＝3，得x＝13，y＝3，故A13，3；由xy＝1，y＝x，得x＝1，y＝1，或x＝－1，y＝－1，(舍去)，故B(1,1)；由y＝x，y＝3，得x＝3，y＝3，故C(3,3)，故所求面积S＝S1＋S2＝1313－1xdx＋13(3－x)dx＝(3x－lnx)113＋3x－12x231＝4－ln3.[类题通法]由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．[针对训练]求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积．解：由y＝x2，y＝x，得A(1,1)，由y＝x2，y＝2x，得B(2,4)，如图所示所求面积为S＝012xdx－01xdx＋122xdx－12x2dx＝01(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝01xdx＋12(2x－x2)dx＝12x210＋x2－13x321＝76.考点三简单几何体的体积的求解[典例]求抛物线y＝2x2与直线x＝a(a0)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积．[解]由a0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V＝0aπ(2x2)2dx＝4π0ax4dx＝4π·15x5a0＝45πa5.[类题通法]求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f(x)．③确定积分上、下限a，b.④计算体积V＝abπf2(x)dx.[针对训练]1.y＝sinx(0≤x≤π)和x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为()A．π2B．4π2C.13π2D.π22解析：V＝π0πsin2xdx＝π0π1－cos2x2dx＝π2x－sin2x2π0＝π22.答案：D2．给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________．解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC的方程：y＝a.则该旋转体即圆柱的体积为：0aπ×a2dx＝πa2xa0＝πa3.答案：πa3