2019-2020学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 5 5.1 对数函数的概念 5.2 对数

第三章指数函数和对数函数§5对数函数5．1对数函数的概念5．2对数函数y＝log2x的图像和性质自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．初步理解对数函数的概念．2．掌握对数函数y＝log2x的图像和性质．3．了解反函数的概念.1．我们把函数_______________________叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___________，a叫作对数函数的______．2．我们称以10为底的对数函数y＝lgx为______________；称以无理数e为底的对数函数y＝lnx为______________．y＝logax(a0，a≠1)(0，＋∞)底数常用对数函数自然对数函数练一练：下列函数是对数函数的是()A．y＝loga(2x)B．y＝log22xC．y＝log2x＋1D．y＝lgx答案：D3．指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1)互为反函数，通常情况下，x表示自变量，y表示函数，指数函数y＝ax(a0，a≠1)是对数函数________(a0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a0，a≠1)也是指数函数_____(a0，a≠1)的反函数．互为反函数的两个函数的图像关于____________对称．y＝logaxy＝ax直线y＝x1．对数函数中底数的取值范围是什么？答：由于指数函数y＝ax中的底数a满足a0，a≠1则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a0，a≠1.2．对数函数的解析式同时满足哪些条件？答：(1)对数符号前面的系数是1；(2)对数的底数是不等于1的正实数常数；(3)对数的真数仅有自变量x.3.原函数与反函数有何关系？答：(1)函数y＝f(x)的反函数常用y＝f－1(x)来表示．(2)函数y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数．(3)对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．(4)反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域．(5)对于任意一个函数y＝f(x)，不一定总有反函数．典例精析规律总结2课堂互动探究下列函数中，哪些是对数函数？①y＝logax2(a0，且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝2log8x；④y＝logxa(x0，且x≠1)；⑤y＝log5x.【解】⑤为对数函数．①中真数不是自变量x，不是对数函数；②中对数式后减1，∴不是对数函数；③中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；④中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数．【方法总结】同指数函数一样，对数函数也是形式化定义，形如y＝logax(a0且a≠1)的函数是对数函数，否则不是．若函数y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x为自变量的对数函数，求实数a.解：由题意得a2－2a－2＝1，a＋10，a＋1≠1，即（a－3）（a＋1）＝0，a－1，a≠0.∴a＝3.求下列函数的定义域．(1)y＝lg（2－x）；(2)y＝1log3（3x－2）；(3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．【解】(1)由题意得lg（2－x）≥0，2－x0，即2－x≥1，∴x≤1，则y＝lg（2－x）的定义域为{x|x≤1}．(2)由log3（3x－2）≠0，3x－20，得3x－2≠1，3x2，解得x23，且x≠1.∴y＝1log3（3x－2）的定义域为xx23且x≠1.(3)由题意得－4x＋80，2x－10，2x－1≠1，解得x2，x12，x≠1.∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为x12x2且x≠1.【方法总结】求对数函数定义域与一般函数定义域类似，尤其注意真数大于0，底数大于0且不等于1.求下列函数的定义域．(1)y＝lg(x＋1)＋2x2－x；(2)y＝log(x－2)(5－x)．解：(1)要使函数有意义，只要x＋10，2－x0，即－1x2.∴函数的定义域为(－1，2)．(2)要使函数有意义，要x－20，x－2≠1，5－x0，即x2，x≠3，x5.∴函数的定义域为{x|2x3或3x5}.已知函数ƒ(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a0且a≠1)．(1)求函数的定义域和值域；(2)若函数ƒ(x)有最小值－2，求a的值．【解】(1)由1－x0，x＋30，得－3x1.∴函数的定义域为{x|－3x1}．ƒ(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)＝loga[(1－x)(x＋3)]，令t＝(1－x)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴t≤4.又t0，∴0t≤4.∴当a1时，y≤loga4，即值域为(－∞，loga4]；当0a1时，y≥loga4，即值域为[loga4，＋∞)．(2)由题意及(1)知，当0a1时，函数有最小值，∴loga4＝－2，∴a－2＝4，∴a＝12.【方法总结】在求对数函数的值域时，要先考虑函数的定义域，要在定义域内求值域．若含有字母，有时还要分情况讨论．根据函数ƒ(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题：(1)若ƒ(a)ƒ(2)，求a的取值范围；(2)求函数y＝log2(2x－1)在[2，12]上的最值．解：(1)由函数ƒ(x)＝log2x知，它是(0，＋∞)上的增函数，又ƒ(a)ƒ(2)，∴a2，即a的取值范围是(2，＋∞)．(2)∵2≤x≤12，∴3≤2x－1≤23，∴log23≤log2(2x－1)≤log223.∴函数y＝log2(2x－1)在[2，12]上的最小值为log23，最大值为log223.已知函数y＝f(x)，x、y满足关系式lg(lgy)＝lg(3－x)．求函数y＝f(x)的表达式及定义域、值域．【错解】∵lg(lgy)＝lg(3－x)，∴lgy＝3－x，∴y＝103－x，定义域为R，值域为(0，＋∞)．【错因分析】未注意到对数函数的定义域．【正解】∵lg(lgy)＝lg(3－x)，∴lgy＝3－x，且lgy＞0，3－x＞0，∴y＝103－x，x＜3.∴y＞103－3＝1.∴函数的定义域为(－∞，3)，值域为(1，＋∞).即学即练稳操胜券3基础知识达标1．函数y＝log2(x－3)的定义域为()A．(－∞，3)B．(3，＋∞)C．(0，3)D．(0，＋∞)解析：由x－30得x3，即函数的定义域为(3，＋∞)．答案：B2．函数y＝log2x在[1，2]上的值域为()A．(－∞，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，0]D．[0，1]解析：∵y＝log2x在[1，2]上为增函数，又log21＝0，log22＝1，∴值域为[0，1]．答案：D3．设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x1.则满足f(x)≤2的取值范围是()A．[－1，2]B．[0，2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)解析：当x≤1时，21－x≤2，1－x≤1，x≥0，∴0≤x≤1.当x1时，1－log2x≤2，log2x≥－1，log2x≥log212，x≥12，又x1，∴x1.综上，x≥0，即f(x)≤2的取值范围是[0，＋∞)．答案：D4．函数f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a0，a≠1)的图像恒过点P，则点P的坐标是________．解析：令x－1＝1，得x＝2，∴f(2)＝2.∴f(x)的图像恒过定点(2，2)．答案：(2，2)5．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，求f(27)．解：∵f(x)是对数函数，∴m2－m－1＝1，m＋10，m＋1≠1，解得m＝2.∴f(x)＝log3x.∴f(27)＝log327＝3.