2019-2020学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 4 4.2 换底公式课件 北师大版必修1

第三章指数函数和对数函数§4对数4．2换底公式自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．2．了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数.1．对数的运算性质如果a0，a≠1，M0，N0，则，(1)loga(MN)＝____________．(2)logaMn＝_______(n∈R)．(3)logaMN＝____________．logaM＋logaNnlogaMlogaM－logaN练一练：计算：log62＋log63＝()A．1B．0C．－1D．2解析：log62＋log63＝log6(2×3)＝log66＝1.答案：A2．对数换底公式logbN＝___________(a，b0，a，b≠1，N0)．logaNlogab练一练：计算log29·log34＝()A．14B．12C．2D．4解析：log29·log34＝log232·log24log23＝2log23·log222log23＝4.答案：D1．运用对数的运算法则时，应注意哪些问题？答：要注意各个字母的取值范围：M0，N0，a0，a≠1.要注意，只有等式两边的对数都存在时，等式才能成立．要注意公式的逆用．2．对数换底公式有何作用？答：对数换底公式是不同底对数间互相转换的桥梁，尤其是把一般对数转化为常用对数或自然对数的重要工具，一定要记准、用好，它在对数恒等变形和计算求值中有重要作用．3．对于底数和指数中都含有未知数的幂指式，如x2lgx＝3，通常如何处理？答：常用两边取同底的对数的方式解决．以什么数为底数，取决于式子的结构特征或式子中已有的底数．典例精析规律总结2课堂互动探究化简下列各式．(1)(lg2)2＋lg2lg5＋lg5；(2)lg5·lg8000＋（lg23）2lg600－12lg0.036－12lg0.1.【解】(1)原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2lg(2×5)＋lg5＝lg2lg10＋lg5＝lg2＋lg5＝1.(2)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋3lg2＝3，分母＝(lg6＋2)－lg361000×110＝lg6＋2－lg6100＝lg6＋2－lg6＋2＝4.∴原式＝34.【方法总结】对数运算中，应注意多个运算性质综合应用及运算公式的逆用，构造适用公式的条件，结合常用结论进行化简，如lg2＋lg5＝1，logaa＝1等．计算下列各式的值．(1)2log32－log3329＋log38－5log53；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．解：(1)原式＝log34－log3329＋log38－3＝log34×932×8－3＝log39－3＝2－3＝－1.(2)原式＝log32＋log32log39log33log34＋log33log38＝log32＋12log321log34＋13log32＝(log32＋log3212)56log32＝5log32326log32＝1526＝54.利用对数的换底公式化简下列各式．(1)log23·log34·log45·log52；(2)(log43＋log83)·(log32＋log92)．【解】(1)原式＝lg3lg2·lg4lg3·lg5lg4·lg2lg5＝1.(2)原式＝lg3lg4＋lg3lg8·lg2lg3＋lg2lg9＝lg32lg2＋lg33lg2·lg2lg3＋lg22lg3＝5lg36lg2·3lg22lg3＝54.【方法总结】一般利用换底公式化为常用对数，再利用对数运算性质进行计算，但也应结合具体题目探讨化以谁为底较好．利用换底公式求值．(1)log1627·log932；(2)log89log23·log6432.解：(1)原式＝lg27lg16×lg32lg9＝3lg3×5lg24lg2×2lg3＝158.(2)原式＝lg9lg8·lg2lg3·lg32lg64＝2lg33lg2·lg2lg3·5lg26lg2＝59.已知log189＝a，18b＝5，用a，b来表示log3645.【解】解法一：∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，于是log3645＝log1845log1836＝log18（9×5）log18（18×2）＝log189＋log1851＋log182＝a＋b1＋log18189＝a＋b2－a.解法二：∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，于是log3645＝log18（9×5）log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.解法三：∵log189＝a，18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，∴log3645＝lg45lg36＝lg（9×5）lg1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a＋b2－a.【方法总结】用已知对数表示未知对数，就是把未知对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质．化简计算(log25＋log4125)·log32log35的值．解：原式＝log25＋log2125log24·log22log23·1log35＝(log25＋log212512)·1log23·log23log25＝log2552·1log23·12log23log25＝52log25·12·1log25＝54.已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，2x＝py.(1)求p的值；(2)求证：1z－1x＝12y.【解】(1)设3x＝4y＝6z＝t，则t0，且t≠1.∴x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t.∵2x＝py，∴2log3t＝plog4t＝p·log3tlog34.∵log3t≠0，∴p＝2log34＝4log32.(2)证明：1z－1x＝1log6t－1log3t＝logt6－logt3＝logt2.又12y＝12log4t＝12·logt4＝12·2logt2＝logt2，∴1z－1x＝12y.【方法总结】本题考查对数的概念，换底公式，运算法则及方程组消元的思想，当给出的等式是指数形式时，常用的做法是对等式两边取对数．设xa＝yb＝zc且1a＋1b＝1c，求证：z＝xy.证明：设xa＝yb＝zc＝t(t0，t≠1)，则a＝logxt，b＝logyt，c＝logzt，而1a＋1b＝1c.所以1logxt＋1logyt＝1logzt即logtx＋logty＝logtz；所以logt(xy)＝logtz，即xy＝z，所以z＝xy.解方程log3(x－1)＝log9(x＋5)．【错解】由已知得，log3(x－1)＝log3（x＋5）log39，2log3(x－1)＝log3(x＋5)，log3(x－1)2＝log3(x＋5)，(x－1)2＝x＋5，x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.【错因分析】忽略掉了对数概念中“真数大于0”这个条件．【正解】由已知得，log3(x－1)＝log3（x＋5）log39，2log3(x－1)＝log3(x＋5)，log3(x－1)2＝log3(x＋5)，(x－1)2＝x＋5，x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4.又∵x－1＞0且x＋5＞0.∴x＞1，∴x＝4，∴方程的解为x＝4.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中x，y，z0)()A．lg(x2yz)＝(lgx)2＋lgy＋lgzB．lg(x2yz)＝2lgx＋2lgy＋2lgzC．lg(x2yz)＝2lgx＋lgy＋2lgzD．lg(x2yz)＝2lgx＋lgy＋12lgz答案：D2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝()A．a＋baB．a＋bbC．aa＋bD．ba＋b解析：log36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a＋bb.答案：B3．log225·log34·log59的值为()A．6B．8C．15D．30解析：log225·log34·log59＝2log25·2log23·2log23log25＝8.答案：B4．设2a＝5b＝10，则1a＋1b＝________．解析：∵2a＝10，∴a＝log210，∴1a＝lg2，又∵5b＝10，∴b＝log510，∴1b＝lg5，∴1a＋1b＝lg2＋lg5＝lg(2×5)＝lg10＝1.答案：15．计算：(1)2713＋6423－13－1＋(2－1)0；(2)lg8＋lg125－lg2－lg5lg10·lg0.1.解：(1)2713＋6423－13－1＋(2－1)0＝(33)13＋(43)23－13－1＋1＝3＋42－3＋1＝17.(2)lg8＋lg125－lg2－lg5lg10·lg0.1＝lg（8×125）－（lg2＋lg5）12lg10·lg110＝lg1000－lg1012·（－1）＝3－1－12＝－4.