2019-2020学年高中数学 第三章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式（第二课时）点到

第二课时点到直线的距离、两条平行线间的距离一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P106～P109，回答下列问题：(1)如何用代数方法求点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离？提示：由P0Q⊥l，以及直线l的斜率为－AB，可得l的垂线P0Q的斜率为BA，因此，垂线P0Q的方程可求出．解垂线P0Q与直线l的方程组成的方程组，得点Q的坐标，用两点间距离公式求出|P0Q|，即为点P0到直线l的距离．(2)能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可．二、归纳总结·核心必记1．点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与______之间的距离，就是该点到直线的距离．(2)公式：点P(x0，y0)到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离，d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.垂足2．两平行直线间的距离(1)概念：夹在两条平行直线间的的长度就是两条平行直线间的距离．(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.公垂线段三、综合迁移·深化思维1．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．2．在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．探究点一点到直线的距离[思考探究]在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.(1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？名师指津：过点P作直线l′⊥l，垂足为Q，|PQ|即为所求的距离．直线l的斜率为k，则l′的斜率为－1k，∴l′的方程为y－y0＝－1k(x－x0)，联立l，l′的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|.(2)在直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离是不是过点P到直线l的垂线段的长度？提示：是．[典例精析](1)在平面直角坐标系xOy中，点P(2,2)到直线4x＋3y＋5＝0的距离为________．(链接教材P107－例5)(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是3510的直线l的方程．[解](1)由点到直线的距离公式可得d＝|4×2＋3×2＋5|42＋32＝195.(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：d＝|3×－1－0＋m|32＋－12＝|m－3|10＝3510.所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.[答案](1)195[类题通法]点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．[针对训练]1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l:x－y＋3＝0的距离为1，则a＝()A.2B．2－2C.2－1D.2＋1解析：由点到直线的距离公式知，d＝|a－2＋3|2＝|a＋1|2＝1，得a＝－1±2.又∵a＞0，∴a＝2－1.答案：C2．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为()A．(1,2)或(2，－1)B．(3，－4)C．(2，－1)D．(1,2)解析：设点P的坐标为(a,5－3a)，由题意，得|a－5－3a－1|12＋－12＝2，解得a＝1或2，∴点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．答案：A探究点二两条平行线间的距离[思考探究]观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：(1)若过P(x0，y0)的直线l′与l:Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到l的距离与l′与l的距离相等吗？提示：相等．2怎样理解两平行直线间的距离公式？名师指津：①求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式.②利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等.③当两直线都与x轴或y轴垂直时，可利用数形结合来解决.当两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；当两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.[典例精析]已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．[解]由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝|m＋1|13，d2＝|m＋13|13，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.[类题通法]求两平行直线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．[针对训练]3．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于()A．3B．7C.110D.12解析：在3x＋4y－2＝0上取一点0，12，其到6x＋8y－5＝0的距离即为两平行线间的距离，d＝0＋8×12－562＋82＝110.答案：C探究点三距离的综合应用[典例精析]两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时两条直线的方程．[思路点拨](1)由两平行线间的距离公式写出d与斜率之间的函数关系式，不难求出d的范围或利用数形结合求d的范围．(2)求出d取最大值时斜率的值，即可求出所求直线方程．[解](1)法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9.②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x＋3)，即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0，∴d＝|3k－1＋6k－2|k2＋1＝3|3k－1|k2＋1，即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.∵k∈R，且d≠9，d＞0，∴Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，即0＜d≤310且d≠9.综合①②可知，所求d的变化范围为(0,310]．法二：如图所示，显然有0＜d≤|AB|.而|AB|＝6＋32＋2＋12＝310.故所求的d的变化范围为(0,310]．(2)由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB.而kAB＝2－－16－－3＝13，∴所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.[类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．[针对训练]4．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解：(1)法一：联立2x＋y－5＝0，x－2y＝0⇒交点P(2,1)，当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，∴|5k＋1－2k|k2＋1＝3，解得k＝43，∴l的方程为y－1＝43(x－2)，即4x－3y－5＝0.而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴|52＋λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或12，∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.(2)由2x＋y－5＝0，x－2y＝0，解得交点P(2,1)，过P任意作直线l，设d为A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，∴dmax＝|PA|＝10.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是掌握点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离．难点是能用公式求点到直线的距离．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)点到直线的距离的求解方法，见探究点一．(2)求两平行直线间的距离有两种思路，见探究点二．(3)待定系数法求解有关距离问题的方法，见探究点三．3．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式，如探究点二．