2019-2020学年高中数学 第三章 直线与方程 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课件 新人教

知识导图学法指导1.本节的重难点是直线平行和垂直的判定，注意平行和垂直的条件．2．判断直线的位置关系时，要注意斜率不存在的情形．3．当直线的斜率含参数时，要对参数进行分类讨论高考导航两条直线平行与垂直的判定是高考考查的重点，一般不单独考查，常与其他知识(直线方程等)综合考查，分值4～6分.知识点一两条直线平行设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔_________⇔两直线斜率都不存在图示k1＝k2l1∥l21.l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．2．当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.知识点二两条直线垂直图示对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔__________l1与l2两直线的斜率一个不存在，另一个为0时，则l1与l2的位置关系是______l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.k1·k2＝－1垂直[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．()(2)若l1∥l2，则k1＝k2.()(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．()(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．()×××√2．[2019·蚌埠市淮上区校级检测]给出下列说法：①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行，其中说法正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不正确；若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，②不正确；显然③正确；若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，④不正确．答案：A3．已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为()A.3B．－3C.33D．－33解析：因为l1∥l2，所以kl2＝kl1＝tan30°＝33.答案：C4．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________.解析：∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴k2＝－1k1＝－12.答案：－12类型一两条直线的平行关系例1(1)[2019·衡水检测]直线l1的斜率k1＝34，直线l2经过点A(1,2)，B(a－1,3)，l1∥l2，则a的值为()A．－3B．1C.103D.74(2)已知l1经过点A(－3,3)，B(－8,6)，l2经过点M－212，6，N92，－3，求证：l1∥l2.【解析】(1)直线l2的斜率k2＝3－2a－1－1＝1a－2，∵l1∥l2，∴k1＝k2，∴1a－2＝34，∴a＝103.(2)证明：直线l1的斜率为k1＝6－3－8－－3＝－35，直线l2的斜率为k2＝6－－3－212－92＝－35，因为k1＝k2，且kAN＝3－－3－3－92＝－45，所以l1与l2不重合，所以l1∥l2.【答案】(1)C(2)见解析两直线平行⇔根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况．方法归纳判断两条不重合直线是否平行的步骤跟踪训练1根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,23)，N(－2，－33)．解析：(1)由题意知k1＝5－1－3－2＝－45，k2＝－7＋38－3＝－45.因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.(2)由题意知k1＝tan60°＝3，k2＝－33－23－2－3＝3.因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．直接结合斜率公式，比较所给直线的斜率关系，确定其位置关系．类型二两条直线的垂直关系例2判断下列各题中l1与l2是否垂直．(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．【解析】(1)k1＝3－－41－－3＝74，k2＝1－－33－－4＝47，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．(2)k1＝－10，k2＝3－220－10＝110，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝40－4010－－10＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.直线斜率均存在时，直接计算所给直线的斜率，通过比较它们的斜率之间的关系，确定其位置关系，有一条直线斜率不存在时，可比较两直线的倾斜角大小，确定其位置关系．方法归纳使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤(1)首先查看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则将点的坐标代入斜率公式．(2)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，要应用斜率公式对参数进行讨论．总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.跟踪训练2已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为()A．(0，－6)B．(0,7)C．(0，－6)或(0,7)D．(－6,0)或(7,0)解析：由题意可设点P的坐标为(0，y)．因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，且直线AP与直线BP的斜率都存在．又kAP＝y＋52，kBP＝y－6－6，kAP·kBP＝－1，即y＋52·－y－66＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)，故选C.答案：C若斜率均存在，求出斜率，利用l1⊥l2⇔k1k2＝－1进行判断，但要注意斜率不存在的特殊情况．类型三直线平行与垂直关系的应用,,例3已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．【解析】设第四个顶点D的坐标为(x，y)，因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.所以y－1x－0·y－2x－3＝－1，y－1x－0＝2－03－1，解得x＝2，y＝3，或x＝0，y＝1.其中x＝0，y＝1不合题意，舍去．所以第四个顶点D的坐标为(2,3).计算kAB，kCD，kBC，kDA，再结合两条直线平行、垂直的判定求解即可．方法归纳利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．跟踪训练3已知A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状．解析：由题意，可得kAB＝0－11－0＝－1，kCD＝3－22－3＝－1，kBC＝2－03－1＝1，kDA＝3－12－0＝1，∵kAB＝kCD，kBC＝kDA，∴AB∥CD，BC∥DA，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵kAB·kBC＝－1，∴直线AB与BC垂直，即∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形．利用几何图形各边所在直线的斜率可以确定各边所在直线是否相互平行或垂直，从而判定几何图形的形状.