2019-2020学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 2 抛物线 2.2 抛物线的简单性质课件 北

一、四种标准形式的抛物线几何性质的比较类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图像类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)焦点(p2，0)(－p2，0)(0，p2)(0，－p2)准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≤0y≤0对称轴顶点离心率性质开口方向向左向下x≥0y≥0x轴y轴(0,0)e＝1向右向上二、抛物线的通径过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两点的叫作抛物线的通径，抛物线y2＝2px(p0)的通径长为.[疑难提示]抛物线的开口大小与参数p的关系参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，由方程y2＝2px(p0)知，对于同一个x值，p越大，|y|的值也越大，或者说抛物线开口也越大．所以可以说一次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越大．线段2p[想一想]1．抛物线x2＝2py(p0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？提示：有一条对称轴；不是中心对称图形．[练一练]2．抛物线x2＝－4y的通径为AB，O为坐标原点，则()A．通径AB的长为8，△AOB的面积为4B．通径AB的长为8，△AOB的面积为2C．通径AB的长为4，△AOB的面积为4D．通径AB的长为4，△AOB的面积为2解析：由抛物线x2＝－4y知通径长为4，△AOB的面积为12×2p×p2＝12×4×1＝2.答案：D3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有1个公共点，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：点(2,4)在抛物线y2＝8x上，故过点(2,4)且与抛物线只有1个交点的直线有2条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．答案：B4．若抛物线y2＝2px(p0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，则P点的横坐标为________，p的值为________．答案：9或12或18探究一抛物线的几何性质及应用[典例1]抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x24＋y29＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程．[解析]∵椭圆x24＋y29＝1的短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px(p0)，∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴p2＝3，即p＝6，∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－12x，准线方程分别为x＝－3或x＝3.1．用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤(1)定位置；(2)设方程；(3)寻关系；(4)得方程．2．注意只有抛物线的标准方程中p才有几何意义，即焦点到准线的距离．1．(1)已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋12y2＋3的最小值为()A．2B．3C．4D．0(2)若抛物线x2＝2y上距离点A(0，a)最近的点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是()A．a＞0B．0a≤1C．a≤1D．a≤0解析：(1)z＝x2＋12×4x＋3＝(x＋1)2＋2，因为x≥0.所以x＝0时，z有最小值，zmin＝3.(2)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝d2＝x2＋(y－a)2＝2y＋(y－a)2＝y2－(2a－2)y＋a2＝[y－(a－1)]2＋(2a－1)．因为y∈[0，＋∞)，根据题意知，①当a－1≤0，即a≤1时，y＝0时，d2min＝a2.这时dmin＝|a|.②当a－10，即a1时，y＝a－1时d2取到最小值，不符合题意．综上可知a≤1.答案：(1)B(2)C2．已知抛物线C关于x轴对称，顶点为坐标原点O，经过点M(2，y0)，且点M到该抛物线焦点F的距离为3.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求|OM|的值．解析：(1)由题意设抛物线的标准方程为y2＝2px(p0)，则焦点F的坐标为p2，0，准线方程为x＝－p2.∵点M在抛物线上，∴点M到焦点的距离等于其到准线的距离，即|MF|＝2＋p2＝3，∴2－p22＋y20＝2＋p2＝3.解得p＝2，y0＝±22，∴抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)由(1)知点M(2，±22)，根据两点间的距离公式有|OM|＝22＋±222＝23.探究二直线与抛物线相交问题[典例2]如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p0)相交于A，B两点．若点N是点C关于坐标原点O的对称点．求△ABN面积的最小值．[解析]解法一由题意知，点N的坐标为(0，－p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋p，与x2＝2py联立得x2＝2py，y＝kx＋p，消去y，得x2－2pkx－2p2＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝12·2p|x1－x2|＝p|x1－x2|＝px1＋x22－4x1x2＝p4p2k2＋8p2＝2p2k2＋2.所以当k＝0时，(S△ABN)min＝22p2.解法二同解法一，再由弦长公式，得|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·4p2k2＋8p2＝2p1＋k2·k2＋2.又由点到直线的距离公式，得d＝2p1＋k2(d为点N到直线AB的距离)，从而S△ABN＝12·|AB|·d＝12·2p1＋k2·k2＋2·2p1＋k2＝2p2k2＋2.所以当k＝0时，(S△ABN)min＝22p2.设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0.(1)若a≠0，当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点．当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点．当Δ0时，直线与抛物线相离，无公共点．(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．3．(1)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.－12，12B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4](2)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为()A．36B．48C．56D．64解析：(1)Q点坐标为(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y＝k(y28＋2)，即ky2－8y＋16k＝0，当k＝0时，y＝0，x＝0，公共点为(0,0)，符合题意；当k≠0时，Δ＝(－8)2－64k2≥0，所以k∈[－1,1]，故选C.(2)由y＝x－3，y2＝4x得：x2－10x＋9＝0，x1＝1，x2＝9，所以A(1，－2)，B(9,6)，|AP|＝1＋1＝2，|BQ|＝9＋1＝10，|PQ|＝6－(－2)＝8.故S梯形APQB＝12(|AP|＋|BQ|)·|PQ|＝48.答案：(1)C(2)B4．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．解析：(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3，又F32，0，所以直线l的方程为y＝3x－32.联立y2＝6xy＝3x－32，消去y，得x2－5x＋94＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝5＋3＝8.(2)设A(x3，y3)，B(x4，y4)，由抛物线的定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x3＋p2＋x4＋p2＝x3＋x4＋p＝x3＋x4＋3＝9，∴x3＋x4＝6，∴线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－32，∴点M到准线的距离为3＋32＝92.探究三抛物线中的定点、定值(最值)、焦点弦问题抛物线中的定点、定值、焦点弦问题——对称问题—最值问题—焦点弦问题—定值问题—定点问题5．等腰直角△ABO内接于抛物线y2＝2px(p0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2解析：设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.由y＝x，y2＝2px，得A(2p,2p)，则B(2p，－2p)，所以AB＝4p.所以S△ABO＝12·4p·2p＝4p2.答案：B6．求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值．解析：解法一设直线4x＋3y＋m＝0与y＝－x2相切，则由y＝－x24x＋3y＋m＝0，消去y，有3x2－4x－m＝0，令Δ＝0，得m＝－43.∴两直线间的距离d＝|－8－－43|32＋42＝43.∴抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值为43.解法二设(x0，－x20)是抛物线y＝－x2上任一点，则该点到直线4x＋3y－8＝0的距离是d＝|4x0－3x20－8|32＋42＝3|x20－43x0＋83|5＝3|x0－232＋209|5.∴当x0＝23时，d有最小值43.∴抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值为43.7．斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则抛物线y2＝2px(p＞0)中，|AB|＝p＋(x1＋x2)．由于抛物线y2＝4x中，p＝2，于是|AB|＝x1＋x2＋2.因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，且直线AB的斜率为1，所以直线AB的方程为y＝x－1①.将①代入方程y2＝4x得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，由根与系数的关系知，x1＋x2＝6.于是|AB|＝x1＋x2＋2＝8.所以，线段AB的长是8.8．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率是12，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为23.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：x＝22与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E、F两点，证明：|DE|·|DF|恒为定值．解析：(1)由已知，得ca＝12ab＝23a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3.故所求椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)可知A1(－2,0)，A2(2,0)．设P(x0，y0)，依题意－2x02，于是直线A1P的方程为y＝y0x0＋2(x＋2)，令x＝22，则y＝22＋2y0x0＋2.即|DE|＝(22＋2)|y0||x0＋2|.又直线A2P的方程为y＝y0x0－2(x－2)，令x＝22，则y＝22－2y0x0－2，即|DF|＝(22－2)|y0||x0－2|.所以|DE|·|DF|＝(22＋2)|y0||x0＋2|·(22－2)|y0||x0－2|＝4y20|x20－4|＝4y204－x20.(*)又P(x0，y0)在椭圆C上，所以3x20＋4y20＝12，即4y20＝12－3x20，代入(*)式，得|DE|·|DF|＝34－x204－x20＝3，所以|DE|·|DF|为定值3.9.如图所示，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.(1)证明：直线AB必过一定点；(2)求△AOB面积的最小值．解析：(1)证明：设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－1kx.由y＝kx，y2＝2x，解得x＝0y＝0或x＝2k2，y＝2k，∴A点的坐标为(2k2，2k)．同理由y＝－1kx，y2＝2x，解得