2019-2020学年高中数学 第三章 推理与证明章末优化总结课件 北师大版选修1-2

考点1归纳推理的应用1．由某类事物的部分对象具有某些性质，推出该类事物的全部对象具有这些性质的推理，或者是由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的结论不一定正确，但这种方法能为我们的研究提供一种方向．2．在进行归纳推理时要注意以下三点：(1)选择的个体要有代表性；(2)个体要尽量多一些；(3)由归纳推理所得到的结论必须要经过实验验证、实践检验和论证才能推广使用．已知数列{an}的通项公式an＝1n＋12(n∈N＋)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值．[解析]因为an＝1n＋12，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，所以f(1)＝1－a1＝1－14＝34，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·(1－19)＝34×89＝23＝46，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)·(1－116)＝23×1516＝58，由此猜想：f(n)＝n＋22n＋1.考点2类比推理的应用类比是从特殊到特殊的推理，它以比较为基础，类比法有助于启迪思维，触类旁通，拓宽知识，发现命题等，著名哲学家康德说过“每当理智缺乏可靠论证思路时，类比法往往能指明前进的方向．”六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在平行四边形ABCD中，如图(1)，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图(2)中所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC21＋BD21＋CA21＋DB21等于()A．2(AB2＋AD2＋AA21)B．3(AB2＋AD2＋AA21)C．4(AB2＋AD2＋AA21)D．4(AB2＋AD2)[解析]对平行四边形中的结论是：平行四边形的两条对角线长的平方和，等于四条边的平方和，类比到平行六面体中就是：平行六面体的四条对角线长的平方和等于十二条棱长的平方和．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，连接BD、B1D1，在▱BB1D1D中，有BD21＋B1D2＝2(BB21＋B1D21)．同理AC21＋CA2＝2(AA21＋AC2)，两式相加得AC21＋A1C2＋BD21＋B1D2＝2(AA21＋AC2＋BB21＋B1D21)＝4AA21＋2(AB2＋AD2)＋2(A1B21＋A1D21)＝4(AA21＋AB2＋AD2)．[答案]C考点3综合法与分析法综合法是由已知到未知的逻辑推理方法，在我们已经储存了大量的知识，积累了丰富的经验的基础上所用的一种方法，可以使我们从已知的知识中进一步获得新知识．分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法．在探求问题的证明时，它可以帮助我们构思，因而在一般分析问题时，较多地采用分析法，只是找到思路后，往往用综合法加以叙述，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”，在数学证明中不能把分析法和综合法绝对分开．已知△ABC的三边a、b、c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B为锐角．[证明]证法一(分析法)要证明B为锐角，因为B为三角形的内角，则只需证cosB0.又∵cosB＝a2＋c2－b22ac，∴只需证明a2＋c2－b20.∴即证a2＋c2b2.∵a2＋c2≥2ac，∴只需证明2acb2.由已知2b＝1a＋1c，即2ac＝b(a＋c)，∴只需证明b(a＋c)b2，即证a＋cb成立，在△ABC中，最后一个不等式显然成立．∴B为锐角．证法二(综合法)由题意：2b＝1a＋1c＝a＋cac，则b＝2aca＋c，b(a＋c)＝2acb2(∵a＋cb)．∵cosB＝a2＋c2－b22ac≥2ac－b22ac0，又y＝cosx在(0，π)上单调递减，∴0Bπ2，即B为锐角．考点4反证法反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理最后推出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立．理论根据是互为逆否命题的两个命题是等价命题，即若p⇒q成立，则綈q⇒綈p成立，这里得出的矛盾可以是与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛盾．反证法的使用范围：唯一性问题，“至少”“至多”问题，问题本身是否定语气提出的问题．已知f(x)＝x2＋ax＋b.(1)求f(1)＋f(3)－2f(2)；(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.[解析](1)∵f(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，f(3)＝3a＋b＋9，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.(2)证明：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12.则－12f(1)12，－12f(2)12，－12f(3)12，∴－1－2f(2)1，－1f(1)＋f(3)1.∴－2f(1)＋f(3)－2f(2)2，∴这与f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾．∴假设错误，即所证结论成立．