2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 章末复习提升课（三）课件 新人教A版

章末复习提升课第三章数系的扩充与复数的引入[问题展示](教材P63复习参考题A组T2)已知复数z与(z＋2)2－8i都是纯虚数，求z.复数的概念【解】因为z是纯虚数，所以设z＝bi(b≠0，b∈R)．则(z＋2)2－8i＝(2＋bi)2－8i＝4＋4bi＋b2i2－8i＝(4－b2)＋(4b－8)i，因为(z＋2)2－8i也是纯虚数，所以4－b2＝0，4b－8≠0，所以b＝－2.所以z＝－2i.复数z满足(z＋2)2＝－8i，求复数z.【解】设z＝x＋yi(x，y∈R)，所以(x＋yi＋2)2＝－8i，即(x＋2)2－y2＋2(x＋2)yi＝－8i，所以（x＋2）2－y2＝0，2（x＋2）y＝－8，解得x＝0，y＝－2或x＝－4，y＝2.所以z＝－2i或z＝－4＋2i.复数z满足(z＋2)2－8i是纯虚数．求|z|的最小值．【解】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则(z＋2)2－8i＝(x＋2＋yi)2－8i＝(x＋2)2－y2＋[2(x＋2)y－8]i.因为(z＋2)2－8i是纯虚数，所以（x＋2）2－y2＝0，①2（x＋2）y－8≠0，②由①得，y2＝(x＋2)2，所以|z|2＝x2＋y2＝x2＋(x＋2)2＝2x2＋4x＋4＝2(x＋1)2＋2.所以当x＝－1，y＝±1时，满足②式，此时，|z|2的最小值为2，即|z|min＝2.[问题展示](教材P61习题3.2A组T3)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i，2＋i，求点D对应的复数．复数的几何意义【解】由复数的几何意义知，A，B，C分别对应复平面内点(1，3)，(0，－1)，(2，1)．又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB→＝DC→.设D(x，y)，则有(－1，－4)＝(2－x，1－y)，所以2－x＝－1，1－y＝－4.解得x＝3，y＝5.故点D对应的复数为3＋5i.在复平面上，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，3＋5i，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．梯形C．正方形D．平行四边形【解析】因为AB→＝(0，－1)－(1，3)＝(－1，－4)，AD→＝(3，5)－(1，3)＝(2，2)，BC→＝(2，1)－(0，－1)＝(2，2)．所以AD→＝BC→，AB→·AD→＝(－1，－4)·(2，2)＝－10≠0.所以ABCD为平行四边形，故选D.【答案】D【拓展1】在复平面xOy中，四边形ABCD的点B，D对应的复数分别为－i与3＋5i，A，C两点在直线2x＋y－5＝0上，且A、C两点对应的复数zA与zC的实部和虚部都是正整数．(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；(2)计算：zA·zC与zAzC.【解】(1)证明：设zA＝a＋bi，zC＝c＋di，且a，b，c，d∈N*，zA≠zC，因为A、C两点都在直线2x＋y－5＝0上，所以(a，b)与(c，d)是方程2x＋y－5＝0的正整数解对应的有序数对(x，y)．由2x＋y－5＝0得y＝5－2x0，所以x52，又x∈N*，所以当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝1.所以(x，y)＝(1，3)或(2，1)．所以zA＝1＋3i，zC＝2＋i或zA＝2＋i，zC＝1＋3i.当zA＝1＋3i，zC＝2＋i时，AD→＝(3，5)－(1，3)＝(2，2)，BC→＝(2，1)－(0，－1)＝(2，2)，所以AD→＝BC→，又A，B，C，D不共线，所以ABCD是平行四边形．当zA＝2＋i，zC＝1＋3i时，AD→＝(3，5)－(2，1)＝(1，4)，BC→＝(1，3)－(0，－1)＝(1，4)．所以AD→＝BC→，又A，B，C，D不共线，所以ABCD是平行四边形．(2)由第一问可知zA·zC＝(2＋i)(1＋3i)＝2＋6i＋i＋3i2＝－1＋7i.当zA＝1＋3i，zC＝2＋i时，zAzC＝1＋3i2＋i＝（1＋3i）（2－i）（2＋i）（2－i）＝5＋5i5＝1＋i.当zA＝2＋i，zC＝1＋3i时，zAzC＝2＋i1＋3i＝（2＋i）（1－3i）（1＋3i）（1－3i）＝5－5i10＝12－12i.【拓展2】在复平面上，正方形ABCD的A、B、C、D按逆时针方向排列．A，B对应的复数分别为1＋3i与－i.(1)求C、D分别对应的复数zC与zD；(2)设AC→与BD→对应的复数分别为z1与z2，求z2z1＋z2z12＋…＋z2z12017.【解】(1)设zC＝a＋bi，zD＝c＋di，a，b，c，d∈R，所以AB→＝(0，－1)－(1，3)＝(－1，－4)，BC→＝(a，b)－(0，－1)＝(a，b＋1)，因为ABCD是正方形，所以AB→·BC→＝0，且|AB→|＝|BC→|.即(－1，－4)·(a，b＋1)＝0.（－1）2＋（－4）2＝a2＋（b＋1）2，所以a＋4b＝－4，a2＋（b＋1）2＝17，解得a＝－4，b＝0或a＝4，b＝－2.当a＝－4，b＝0时，A、B、C的顺序是顺时针排列，舍去．当a＝4，b＝－2时，A、B、C的顺序是逆时针排列．此时，zC＝4－2i，由AD→＝BC→得(c，d)－(1，3)＝(4，－2)－(0，－1)，即(c，d)＝(4，－2)－(0，－1)＋(1，3)＝(5，2)．所以zD＝5＋2i.(2)由第一问得z1＝(4－2i)－(1＋3i)＝3－5i，z2＝(5＋2i)－(－i)＝5＋3i.z2z1＝5＋3i3－5i＝i（3－5i）3－5i＝i.所以z2z1＋z2z12＋…＋z2z12017＝i＋i2＋…＋i2017＝i（1－i2017）1－i＝i（1－i）1－i＝i.[问题展示]已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．复数的运算与参数问题【解】由z1＝z2得m＋(4－m2)i＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i，由复数相等的定义知，必有m＝2cosθ，4－m2＝λ＋3sinθ，得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ.所以λ＝4－4cos2θ－3sinθ＝4－4(1－sin2θ)－3sinθ＝4sin2θ－3sinθ＝4sin2θ－34sinθ＝4sinθ－382－916.因为sinθ∈[－1，1]，所以λmax＝4×－1－382－916＝7，λmin＝－916.故λ∈－916，7.已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(7＋3sinθ)i(θ∈R)．若z1＝z2，求证：z1在复平面上对应的点Z在虚轴上．【证明】因为z1＝z2，由复数相等的定义得m＝2cosθ，①4－m2＝7＋3sinθ，②①代入②得4－4cos2θ＝7＋3sinθ.所以4sin2θ－3sinθ－7＝0.解得sinθ＝－1或sinθ＝74(舍去)．所以cosθ＝±1－sin2θ＝0，即m＝0.所以z1＝4i，即z1对应的点Z在虚轴上．已知复数z1＝m＋(4＋m2)i(m0)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i，λ∈R，θ∈0，π2.若z1z2∈R，求λ的取值范围．【解】z1z2＝[m＋(4＋m2)i][2cosθ＋(λ＋3sinθ)i]＝[2mcosθ－(m2＋4)(λ＋3sinθ)]＋[m(λ＋3sinθ)＋2(4＋m2)cosθ]i∈R，所以mλ＋3msinθ＋8cosθ＋2m2cosθ＝0，所以λ＝－2mcosθ－8cosθm－3sinθ.因为m0，θ∈0，π2，所以－2mcosθ0，－8cosθm0.所以λ≥2（－2mcosθ）·－8cosθm－3sinθ＝8cosθ－3sinθ，而8cosθ－3sinθ＝73cos(θ＋φ)≤73其中tanφ＝38，所以λ的取值范围为λ≥73.