2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加减运算及

3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义目标定位重点难点1.掌握复数加法与减法运算法则，并能熟悉地进行加、减法运算2.掌握复数加法与减法的几何意义，并能运用数形结合的思想方法解决有关问题重点：理解复数的加减法运算法则难点：理解复数加减法的几何意义1．复数的加减法设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________，z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________.2．复数加法的运算律复数的加法满足______、______，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________；(z1＋z2)＋z3＝____________.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i交换律结合律z2＋z1z1＋(z2＋z3)3．复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线，则复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为两邻边的____________的对角线OZ→所对应的______，即复数的加法可以按照向量的______来进行．4．复数减法的几何意义复数z1－z2是连接向量OZ1→，OZ2→的________，并指向____________所对应的复数．平行四边形复数加法终点被减向量1．(5－i)－(3－i)－5i＝()A．5iB．2－5iC．2＋5iD．2【答案】B【解析】5－i－3＋i－5i＝2－5i.2．|(3＋2i)－(4－i)|＝()A．58B．10C．2D．－1＋3i【答案】B【解析】|3＋2i－4＋i|＝|－1＋3i|＝10.3．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝()A．0B．2iC．6D．6－2i【答案】D【解析】z＝3－i－i＋3＝6－2i.4．若z－(1＋i)＝1＋i，则z＝________.【答案】2＋2i【解析】z＝1＋i＋1＋i＝2＋2i.复数的加减运算【例1】(1)z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2；(2)计算：13＋12i＋(2－i)－43－32i；(3)计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2008＋2009i)＋(2009－2010i)．【解题探究】利用复数的加、减法运算法则进行求解即可．【解析】(1)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.(2)13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋2－43＋12－1＋32i＝1＋i.(3)(方法一)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2008＋2009i)＋(2009－2010i)＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2007－2008)＋2009]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2008＋2009)－2010]i＝(－1004＋2009)＋(1004－2010)i＝1005－1006i.(方法二)(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，(2007－2008i)＋(－2008＋2009i)＝－1＋i.相加(共有1004个式子)，原式＝1004(－1＋i)＋(2009－2010i)＝(－1004＋2009)＋(1004－2010)i＝1005－1006i.几个复数相加减，运算法则为这些复数的所有实部相加减，所有虚部相加减．第(3)小题的解法一是从整体上把握，将计算分实部和虚部进行，有机构造特殊数列的和进而求得结果．解法二是从局部入手，抓住了式中相邻两项和的特点，恰当地分组，使计算得以简化．1．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.【解析】z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝5x－3y＋(x＋4y)i，又z＝13－2i，∴5x－3y＝13，x＋4y＝－2，解得x＝2，y＝－1.∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.复数加减运算的几何意义【例2】(1)设向量OZ→1及OZ→2分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，计算z1－z2，并在复平面内作出OZ→1－OZ→2；(2)设向量OZ→1及OZ→2分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2，并在复平面内作出OZ→1＋OZ→2.【解题探究】直接利用复数的加减运算求解z1－z2，z1＋z2；作出OZ1→与OZ2→对应的点Z1，Z2，即可作出OZ1→－OZ2→，OZ1→＋OZ2→.【解析】(1)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.(如图1)(2)z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i.(如图2)由复数的几何意义知，复数z1和复数z2所对应的点分别为Z1和Z2.OZ1→－OZ2→就是向量Z2Z1→，而OZ1→＋OZ2→就是向量OZ→，可利用平行四边形法则作出．2．已知▱OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.试求：(1)AO→表示的复数；(2)CA→表示的复数；(3)B点对应的复数．【解析】(1)AO→＝－OA→，∴AO→表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)CA→＝OA→－OC→，∴CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋OC→，∴OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.复数概念不清致误【示例】有以下命题：(1)若a，b∈R，z1＝a＋bi，z2＝a－bi，则z1－z2是纯虚数；(2)若z1，z2∈C且z1－z2＞0，则z1＞z2；(3)若a＞b，则a＋i＞b＋i.其中，正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【错解】D【错因分析】对复数的概念理解不够清晰，当b＝0时，z1－z2＝0为实数；z1－z2＞0，若z1，z2的虚部相等且不为0，则z1，z2不能比较大小；若a＞b，即a，b为实数，复数a＋i与b＋i的虚部不为0，所以两个复数不能比较大小．【正解】A【警示】不能把实数中的运算直接推广至复数上．1．复数的和(差)仍然是一个复数且加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C均有①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数的加法、减法的几何意义①复数加法的几何意义：复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量OZ1→，OZ2→的终点的向量Z2Z1→所对应的复数．【答案】D【解析】z＝1－(3－4i)＝－2＋4i.故选B.1．(2019年陕西宝鸡期末)若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是()A．－4B．－2C．3D．42．设O是原点，OA→，OB→对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么BA→对应的复数是()A．－5＋5iB．－5－5iC．5＋5iD．5－5i【答案】D【解析】由OA→，OB→对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，∴BA→对应的复数为(2－3i)－(－3＋2i)＝5－5i.故选D．3．(2017年海南一模)若a，b∈R，且3b＋(2a－2)i＝1－i，则a＋b的值为()A．－16B．16C．56D．－76【答案】C【解析】∵a，b∈R,3b＋(2a－2)i＝1－i，∴3b＝1,2a－2＝－1，解得b＝13，a＝12.则a＋b＝56.故选C．4．(2019年浙江温州校级模拟)已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝_______，y＝_______.【答案】611【解析】x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i，∴x＋4＝y－1，x＋y＝3x－1，解得x＝6，y＝11.