2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加、减运算

3.2复数代数形式的四则运算3．2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P107～P108，回答下列问题．(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2为何值？提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)对于复数z1，z2，z3，关系式z1＋z2＝z2＋z1和(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)成立吗？提示：成立．(3)设OZ1―→＝(a，b)，OZ2―→＝(c，d)分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，如图所示．则OZ1―→＋OZ2―→，z1＋z2各为何值？它们之间有什么对应关系？OZ1―→－OZ2―→与z1－z2之间又有什么关系？提示：OZ1―→＋OZ2―→＝(a＋c，b＋d)，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，故OZ1―→＋OZ2―→是复数z1＋z2所对应的平面向量．OZ1―→－OZ2―→是复数z1－z2所对应的平面向量．二、归纳总结·核心必记1．复数的加、减法运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝，z1－z2＝.2．复数加法的运算律(1)交换律：；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz1＋z2＝z2＋z1z1＋(z2＋z3)3．复数加、减法的几何意义如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为OZ1―→，OZ2―→，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是_______，与z1－z2对应的向量是________.OZ―→Z2Z1―→三、综合迁移·深化思维(1)在实数范围内a－b0⇔ab恒成立，在复数范围内是否有z1－z20⇒z1z2恒成立呢？提示：若z1，z2∈R，则z1－z20⇒z1z2成立．否则z1－z20z1z2.如z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝10，但不能说1＋i大于i.(2)复数|z1－z2|的几何意义是什么？提示：表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．探究点一复数的加、减运算[思考探究]若z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1＋z2，z1－z2为何值？名师指津：z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.[典例精析]1．计算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)；(4)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．[解](1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i＝－10i.(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.(4)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i＝3a＋(4－2b)i.[类题通法](1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．[针对训练]1．计算：(1)2i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]；(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．解：(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.探究点二复数加、减运算的几何意义[典例精析]已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．[解]如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝zA＋zC2＝zB＋zD2，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，因为AC―→：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以|AC―→|＝|7＋2i|＝72＋22＝53，因为BD―→：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以|BD―→|＝|5－12i|＝52＋122＝13.故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是53和13.[类题通法]运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB―→对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．[针对训练]2．已知平行四边形ABCD中，AB―→与AC―→对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．(1)求AD―→对应的复数；(2)求DB―→对应的复数．解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以AC―→＝AB―→＋AD―→，于是AD―→＝AC―→－AB―→，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即AD―→对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB―→＝AB―→－AD―→，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即DB―→对应的复数是5.探究点三复数加、减运算几何意义的应用[思考探究]在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则(1)四边形OACB是什么四边形？提示：平行四边形．(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则该四边形OACB的形状是什么？提示：矩形．(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB的形状是什么？提示：菱形．(4)若|z1|＝|z2|，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB又是什么形状？提示：正方形．[典例精析]已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．[解]由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.[类题通法](1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．[针对训练]3．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝2.法二：作出z1、z2对应的向量OZ1―→、OZ2―→，使OZ1―→＋OZ2―→＝OZ―→.∵|z1|＝|z2|＝1，又OZ1―→、OZ2―→不共线(若OZ1―→、OZ2―→共线，则|z1＋z2|＝2或0，与|z1＋z2|＝2矛盾)．∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．又|z1＋z2|＝2，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝2.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是复数的加法和减法运算，难点是复数加、减法运算的几何意义及其应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)复数的加法、减法运算，见探究点一；(2)复数加法、减法运算的几何意义，见探究点二；(3)复数加法、减法运算几何意义的应用，见探究点三．3．对复数的加法、减法运算应注意以下几点：(1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．