2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充和复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.

3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．复数的加法与减法(1)复数的加减法运算法则(a＋bi)±(c＋di)＝.(2)复数加法的运算律复数的加法满足、，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝；(z1＋z2)＋z3＝．□01(a±c)＋(b±d)i□02交换律□03结合律□04z2＋z1□05z1＋(z2＋z3)课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线，则复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)复数减法的几何意义复数z1－z2是连接向量OZ1→，OZ2→的，并指向被减向量的向量Z2Z1→所对应的复数．(3)复平面内的两点间距离公式：d＝.其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2间的距离．□06终点□07|z1－z2|课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，则|Z2Z1→|＝|z1－z2|＝|(x1＋y1i)－(x2＋y2i)|＝|(x1－x2)＋(y1－y2)i|＝x1－x22＋y1－y22.2．复数模的两个重要性质(1)||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|；(2)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．()×××课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ1→对应的复数为2－3i，向量OZ2→对应的复数为3－4i，则向量Z1Z2→对应的复数为________．答案(1)6＋i(2)－11i(3)1－i答案课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1复数的加减运算例1计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)；(2)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解](1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.(2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.(2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i)＝－1＋i＋1＋(1＋i)＝1＋2i.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2复数加减运算的几何意义例2已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．[解]解法一：设D点对应复数为x＋yi(x，y∈R)，则D(x，y)．又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)，∴AC中点为32，2，BD中点为x2，y－12.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练∵平行四边形对角线互相平分，∴32＝x2，2＝y－12，∴x＝3，y＝5.即点D对应的复数为3＋5i.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解法二：设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．则AD→对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又BC→对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i.由已知AD→＝BC→，∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i，∴x－1＝2，y－3＝2，∴x＝3，y＝5，即点D对应的复数为3＋5i.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[条件探究]若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，求第四个顶点对应的复数．[解]设1＋3i，－i,2＋i对应A，B，C三点，D为第四个顶点，则①当ABCD是平行四边形时，D点对应的复数是3＋5i.②当ABDC是平行四边形时，D点对应的复数为1－3i.③当ADBC是平行四边形时，D点对应复数为－1＋i.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．解(1)因为向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，所以向量AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC→＝OA→＋AC→，答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD→＝BC→，所以向量AD→对应的复数为3－i，即AD→＝(3，－1)，设D(x，y)，则AD→＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，所以x－2＝3，y－1＝－1，解得x＝5，y＝0.所以点D对应的复数为5.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)因为BA→·BC→＝|BA→||BC→|cosB，所以cosB＝BA→·BC→|BA→||BC→|＝3－25×10＝152＝210.所以sinB＝752＝7210，所以S＝|BA→||BC→|sinB＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD的面积为7.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3复数加减运算的几何意义的应用例3已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.[解]解法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝3.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝3.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝yi(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z1－z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵z1－z2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第一象限．解析答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于()A．－3iB．3iC．±3iD．4i解析设z＝x＋yi(x，y∈R)，由z＋3i＝x＋(y＋3)i为纯虚数，得x＝0，且y≠－3，又|z|＝x2＋y2＝|y|＝3，∴y＝3.故选B.解析答案B答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量OA→，OB→，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则()A．OA→＝OB→B．|OA→|＝|OB→|C．OA→⊥OB→D．OA→，OB→共线答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析如图，由向量的加法及减法法则可知，OC→＝OA→＋OB→，BA→＝OA→－OB→.由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应OC→的模，|z1－z2|对应BA→的模．又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形，则OA→⊥OB→.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i解析z＝2i＋(1－i)＝1＋i.故选A.解析答案A答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练5．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)向量AO→对应的复数；(2)向量CA→对应的复数；(3)向量OB→对应的复数．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)因为AO→＝－OA→，所以向量AO→对应的复数为－3－2i.(2)因为CA→＝OA→－OC→，所以向量CA→对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为OB→＝OA→＋OC→，所以向量OB→对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.答案