2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系课件 北师大版必修4

§1同角三角函数的基本关系一、预习教材·问题导入1．同角三角函数的平方关系是什么？2．同角三角函数的商数关系是什么？同角三角函数的基本关系(1)关系式：①平方关系：sin2α＋cos2α＝.②商数关系：sinαcosα＝(α≠kπ＋π2，k∈Z)．(2)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的等于1，商等于α的．tanα正切平方和1二、归纳总结·核心必记[点睛](1)同角三角函数的基本关系中的角都是“同一个角”，sin2α＋cos2β＝1不一定成立．“同角”与角的表示形式无关．如sin2α2＋cos2α2＝1成立，这里的同角是指α2.(2)注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的．如sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝sinαcosα仅对α≠kπ＋π2(k∈Z)成立．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当α∈R时，tanα＝sinαcosα成立()(2)若α＋β＝90°，则sin2α＋sin2β＝1()×√2．若α是第四象限角，且cosα＝1213，则sinα＝()A.513B．－513C.512D．－512解析：选B∵α为第四象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－513，选B.三、基本技能·素养培优3．已知α∈0，π2，sinα＝35，则cosα＝()A.45B．－45C.－17D．35答案：A4．若θ为第三象限角，则1＋sinθsin2θ＋cosθcos2θ＝________.解析：∵θ为第三象限角，∴sinθ0，cosθ0，∴1＋sinθsin2θ＋cosθcos2θ＝1－sin2θ－cos2θ＝0.答案：0[解](1)∵cosα＝－45，且α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－－452＝－35，tanα＝sinαcosα＝－35×－54＝34.[典例](1)若cosα＝－45，且α是第三象限角，求sinα，tanα；(2)已知sinα＝513，求cosα和tanα.考点一已知α的某个三角函数值求其余三角函数值(2)∵sinα＝513＞0，∴α是第一或第二象限角，当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝1－5132＝1213，∴tanα＝sinαcosα＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－1－5132＝－1213，∴tanα＝sinαcosα＝513－1213＝－512.[类题通法]已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值的注意点(1)用平方关系求值时，所求三角函数值的符号由角所属的象限决定，当条件中未给出角的象限时，要分类讨论；(2)用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tanα＝sinαcosα代入sinα，cosα的值即可求得tanα.[针对训练]已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C.15D.35解析：选B原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－35.[典例]已知tanx＝12，求下列各式的值．(1)sinx－3cosxsinx＋cosx；(2)cos2x－sinxcosx.考点二条件求值解：(1)因为tanx＝12，所以原式＝tanx－3tanx＋1＝12－312＋1＝－53.(2)因为tanx＝12，所以原式＝cos2x－sinxcosxcos2x＋sin2x＝1－tanx1＋tan2x＝1－121＋14＝25.[类题通法](1)已知tanα的值，求关于sinα，cosα的分式值的问题，有以下两种情况①若分子、分母中sinα，cosα的次数相同(称为齐次式)，由cosα≠0，令分子、分母同除以cosnα(n∈N*)，将待求式化为关于tanα的表达式，再整体代入tanα的值求解．②若待求式形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α，注意可将分母“1”化为sin2α＋cos2α，通过进一步转化，变为关于tanα的表达式，然后求值．(2)关于sinα±cosα，sinαcosα知一求二问题①sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.②求sinα＋cosα或sinα－cosα的值时，要注意判断它们的符号．[针对训练]已知0＜θ＜π，且sinθ＋cosθ＝15，求：(1)sinθcosθ.(2)sinθ－cosθ的值．解：(1)∵sinθ＋cosθ＝15,∴(sinθ＋cosθ)2＝125，解得sinθcosθ＝－1225.(2)∵0＜θ＜π，且sinθcosθ＜0，∴sinθ＞0，cosθ＜0,∴sinθ－cosθ＞0.又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925，∴sinθ－cosθ＝75.[典例]化简tanα1sin2α－1，其中α是第二象限角．[解]因为α是第二象限角，所以sinα0，cosα0.故tanα1sin2α－1＝tanα1－sin2αsin2α＝tanαcos2αsin2α＝sinαcosα·cosαsinα＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.考点三三角函数式的化简[类题通法]三角函数式化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．[针对训练]化简：(1)sinθ－cosθtanθ－1；(2)sin2θ－sin4θ，θ是第二象限角．解：(1)sinθ－cosθtanθ－1＝sinθ－cosθsinθcosθ－1＝sinθ－cosθsinθ－cosθcosθ＝cosθ.(2)由于θ为第二象限角，所以sinθ0，cosθ0，故sin2θ－sin4θ＝sin2θ1－sin2θ＝sin2θcos2θ＝|sinθcosθ|＝－sinθcosθ.[典例]证明：cos4α－sin4α1＋2sinπ－αcosπ＋α＝1＋tanα1－tanα.[证明]左边＝cos2α＋sin2αcos2α－sin2αcos2α＋sin2α－2sinαcosα＝cosα＋sinαcosα－sinαcosα－sinα2＝cosα＋sinαcosα－sinα＝cosαcosα＋sinαcosαcosαcosα－sinαcosα＝1＋tanα1－tanα＝右边，故原等式成立．考点四三角恒等式的证明[类题通法]简单的三角恒等式的证明思路(1)从一边开始，证明它等于另一边；(2)证明左、右两边等于同一个式子；(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．[针对训练]已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.证明：由tan2α＝2tan2β＋1，可得tan2β＝12(tan2α－1)，即sin2βcos2β＝12sin2αcos2α－1，故sin2β1－sin2β＝12sin2α1－sin2α－1＝12×2sin2α－11－sin2α，整理得sin2β1－sin2β＝sin2α－121－sin2α，即sin2β(1－sin2α)＝(1－sin2β)·sin2α－12，展开得sin2β＝sin2α＋12sin2β－12，即sin2β＝2sin2α－1.