2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末小结与测评课件 新人教A版必修4

1．三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．2．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件的恒等式证明和条件恒等式证明．(1)不附加条件的恒等式证明三角恒等式的证明就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是三角变换的重要应用之一．证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．(2)条件恒等式证明这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细探求所附条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法．[典例1]化简：2sin130°＋sin100°（1＋3tan370°）1＋cos10°.[对点训练]1．求证：tan2x＋1tan2x＝2（3＋cos4x）1－cos4x.证明：法一：左边＝sin2xcos2x＋cos2xsin2x＝sin4x＋cos4xsin2xcos2x＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2xcos2x14sin22x＝1－12sin22x14sin22x＝1－12sin22x18（1－cos4x）＝8－4sin22x1－cos4x＝4＋4cos22x1－cos4x＝4＋2（1＋cos4x）1－cos4x＝2（3＋cos4x）1－cos4x＝右边．原式得证．法二：右边＝2（2＋1＋cos4x）2sin22x＝2（2＋2cos22x）2sin22x＝2（1＋cos22x）4sin2xcos2x＝（sin2x＋cos2x）2＋（cos2x－sin2x）22sin2xcos2x＝2（sin4x＋cos4x）2sin2xcos2x＝tan2x＋1tan2x＝右边．原式得证.三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．[典例2]已知tanα＝－13，cosβ＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．解：(1)由cosβ＝55，β∈(0，π)，得sinβ＝255，tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－13＋21－－13×2＝1.(2)因为tanα＝－13，α∈(0，π)，所以sinα＝110，cosα＝－310.f(x)＝2sinxcosα－2cosxsinα＋cosxcosβ－sinxsinβ＝－355sinx－55cosx＋55cosx－255sinx＝－5sinx.所以f(x)的最大值为5.[对点训练]2．已知tanα＝43，cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角，求cosβ的值．解：因为α，β均为锐角，所以0α＋βπ，又cos(α＋β)＝－1114，所以π2α＋βπ，且sin(α＋β)＝5314.因为tanα＝43，所以sinα＝437，cosα＝17.所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝12.三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解．(2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题．(3)有时会以向量为背景出题，综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识．[典例3]已知函数f(x)＝2sinx4cosx4＋3cosx2.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令g(x)＝fx＋π3，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．解：(1)∵f(x)＝sinx2＋3cosx2＝2sinx2＋π3，∴f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.当sinx2＋π3＝－1时，f(x)取得最小值－2；当sinx2＋π3＝1时，f(x)取得最大值2.(2)由(1)知f(x)＝2sinx2＋π3，又g(x)＝fx＋π3，∴g(x)＝2sin12x＋π3＋π3＝2sinx2＋π2＝2cosx2.∵g(－x)＝2cos－x2＝2cosx2＝g(x)，∴函数g(x)是偶函数．[对点训练]3．已知函数f(x)＝（sinx－cosx）sin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝(sinx－cosx)sin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z).1．三角形中的三角函数问题，其本质是附条件的三角函数问题，这个条件是A＋B＋C＝π.解决问题时要熟练掌握下面一些恒等式的应用：(1)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC；(2)sin(2A＋2B)＝－sin2C，cos(2A＋2B)＝cos2C，tan(2A＋2B)＝－tan2C；(3)sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2，tanA＋B2＝1tanC2.还要记住下面恒等式的证明：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.2．三角形中的三角函数问题主要有求值、化简、证明，其实质是附条件的三角函数问题．还有一种重要题型是判断三角形的形状，从角的方面看，若最大角是锐角、直角、钝角，可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．从边的方面看，可分为等腰三角形、非等腰三角形，等腰三角形又可分为等边三角形和底、腰不等的等腰三角形，分类标准必须清楚．[典例4]在△ABC中，若sinC＝cosA＋cosB，求证：A，B中必有一个为直角．证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)＝cosA＋cosB.利用和差化积公式可得cosA＋cosB＝2cosA＋B2cosA－B2.∴2sinA＋B2cosA＋B2＝2cosA＋B2cosA－B2.∴sinA＋B2＝cosA－B2.两边平方，得sin2A＋B2＝cos2A－B2.∴1－cos（A＋B）2＝1＋cos（A－B）2.∴cos(A＋B)＋cos(A－B)＝0.∴2cosAcosB＝0.∴cosA＝0或cosB＝0.∵A，B为△ABC的内角，∴A，B中必有一个是直角．[对点训练]4．在△ABC中，A，B为锐角，且cos2A＝35，sinB＝1010，求角C的大小．解：∵A为锐角，cos2A＝35，∴cos2A＝1－2sin2A＝35，∴sinA＝55.cosA＝1－sin2A＝255，又B为锐角，sinB＝1010，∴cosB＝1－sin2B＝31010.∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝255×31010－55×1010＝22.∵0A＋Bπ，∴A＋B＝π4.∴C＝π－(A＋B)＝3π4.即角C＝3π4.