2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末归纳整合课件 新人教A版必修4

章末归纳整合在解决有关三角函数的问题时，三角函数的图象是不可缺少的工具，大多数题目都要画出所涉及的三角函数的草图，然后结合图象解决问题，所以数形结合思想在解决三角函数问题上有着广泛的应用．数形结合思想【例1】若方程2sinx＋π3＝m在[0，π]上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．【分析】由题意可得函数y＝2sinx＋π3的图象和直线y＝m在[0，π]上有两个不同的交点，数形结合求得实数m的取值范围．【解析】由题意可得函数y＝2sinx＋π3的图象和直线y＝m在[0，π]上有两个不同的交点，画出函数y＝2sinx＋π3的图象以及直线y＝m，可得实数m的取值范围为[3，2)．【点评】本题主要考查正弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．若关于x的方程sin2x＋3cos2x－k＝0在区间0，π2上有两个不同的实数解，则k的取值范围为________．【答案】3，2【解析】由题意可得函数g(x)＝2sin2x＋π3与直线y＝k在0，π2上有两个交点．由于x∈0，π2，故2x＋π3∈π3，4π3.令2x＋π3＝t，则t∈π3，4π3，函数y＝h(t)＝2sint与直线y＝k在π3，4π3上有两个交点，要使两个函数图象有两个交点，则3≤k＜2.分类讨论思想与中学数学的关系较为密切，在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常常需要分类讨论，三角函数与二次函数的综合问题以及三角函数的最值等问题有时也需要分类讨论．分类讨论思想【例2】若函数f(x)＝tan2x－atanx|x|≤π4的最小值为－6，则实数a的值为________．【分析】由角的范围可得tanx的范围，由二次函数的知识分类讨论可得．【解析】∵|x|≤π4，设m＝tanx∈[－1,1]，∴y＝tan2x－atanx＝m2－am，m∈[－1,1]．当a2＜－1，即a＜－2时，函数y＝m2－am在m∈[－1,1]上单调递增，故当m＝－1时，函数取最小值，即1＋a＝－6，解得a＝－7，符合题意；当a2＞1，即a＞2时，函数y＝m2－am在m∈[－1,1]上单调递减，故当m＝1时，函数取最小值，即1－a＝－6，解得a＝7，符合题意；当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，函数y＝m2－am在m∈－1，a2上单调递减，在m∈a2，1上单调递增，【答案】±7【点评】本题考查三角函数的最值，涉及正切函数的值域和二次函数的最值，涉及分类讨论的思想，属中档题．故当m＝a2时，函数取最小值，即a24－a22＝－6，解得a＝±26，均不符合题意．综上，a＝±7.已知－π6≤βπ4，3sin2α－2sin2β＝2sinα，试求函数y＝sin2β－12sin2α的最小值．【解析】∵－π6≤βπ4，∴－12≤sinβ22，0≤sin2β12，∴0≤2sin2β1.由已知得2sin2β＝3sin2α－2sinα，∴0≤3sin2α－2sinα1，即3sin2α－2sinα≥0，3sin2α－2sinα1，解得23≤sinα1或－13sinα≤0.∴y＝sin2β－12sin2α＝12(3sin2α－2sinα)－12sin2α＝sinα－122－14.∵当sinα∈23，1时，y是增函数，∴当sinα＝23时，ymin＝－29.∵当sinα∈－13，0时，y是减函数，∴当sinα＝0时，ymin＝0.综上，函数y＝sin2β－12sin2α的最小值为－29.本章内容虽然公式多，公式的变式、方法技巧多，但是公式间的逻辑性较强，规律及变换原则较明确．通过近三年的高考看，常以选择题、填空题和解答题的形式出现，其中小题往往单纯考查三角函数式的变换、求值或化简，充分利用了两角和与差的正、余弦公式和正切公式，以及倍角公式，大题则多与向量相结合命题或利用化简后的结果考查有关三角函数的性质，题目难度以中、低档为主．1．(2018年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【解析】f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－1－cos2x2＋2＝32cos2x＋52，所以f(x)的最小正周期为π，最大值为32＋52＝4.故选B．2．(2018年新课标Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．π【答案】C【解析】f(x)＝cosx－sinx＝－(sinx－cosx)＝－2sinx－π4.由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z)．取k＝0，得f(x)的一个减区间为－π4，3π4.由f(x)在[0，a]是减函数，得a≤3π4，所以a的最大值是3π4.3．(2018年新课标Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.【答案】－12【解析】由sinα＋cosβ＝1，两边平方，得sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1，①由cosα＋sinβ＝0，两边平方，得cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0，②①＋②，得2＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，即2＋2sin(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－12.4．(2018年江苏)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．【解析】(1)由sinαcosα＝43，sin2α＋cos2α＝1，结合α为锐角，解得sinα＝45，cosα＝35，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－725.(2)由(1)得，sin2α＝2sinαcosα＝2425，则tan2α＝sin2αcos2α＝－247.∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，α)，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝255，则tan(α＋β)＝sinα＋βcosα＋β＝－2.∴tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tanα＋β1＋tan2αtanα＋β＝－211.5．(2017年北京)已知函数f(x)＝3cos2x－π3－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12.【解析】(1)f(x)＝3cos2x－π3－2sinxcosx，＝312cos2x＋32sin2x－sin2x，＝32cos2x＋12sin2x＝sin2x＋π3，∴T＝2π2＝π，即f(x)的最小正周期为π.(2)∵x∈－π4，π4，∴2x＋π3∈－π6，5π6.∴－12≤sin2x＋π3≤1.∴f(x)≥－12.6．(2017年山东)设函数f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，其中0＜ω＜3，已知fπ6＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在－π4，3π4上的最小值．【解析】(1)函数f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2＝sinωxcosπ6－cosωxsinπ6－sinπ2－ωx＝32sinωx－32cosωx＝3sinωx－π3，又fπ6＝3sinπ6ω－π3＝0，∴π6ω－π3＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k＋2.又0＜ω＜3，∴ω＝2.(2)由(1)知，f(x)＝3sin2x－π3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝3sinx－π3的图象，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到y＝3sinx＋π4－π3的图象，∴函数y＝g(x)＝3sinx－π12.当x∈－π4，3π4时，x－π12∈－π3，2π3，∴sinx－π12∈－32，1.∴当x＝－π4时，g(x)取得最小值是－32×3＝－32.