2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.

3.1.1课时两角差的余弦公式一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P124～P127的内容，回答下列问题．(1)当α＝60°，β＝30°时，cosα－cosβ等于多少？cos60°－cos30°＝cos(60°－30°)成立吗？提示：cos_60°－cos_30°＝1－32，cos(60°－30°)＝32，故cos_60°－cos_30°＝cos(60°－30°)不成立．(2)cosα－cosβ＝cos(α－β)一定成立吗？提示：不一定．(3)单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？的夹角是多少？提示：A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)．的夹角是α－β.(4)根据上图，分别利用平面向量数量积的定义及坐标运算，求出的数量积各是什么？＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(5)根据上面的计算可以得出什么结论？提示：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sin_αsin_β.二、归纳总结·核心必记两角差的余弦公式三、综合迁移·深化思维公式C(α－β)在结构上有什么特点？提示：①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦；②将所得的积相加．探究点一给角求值问题[典例精析]1．求下列各式的值：(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°；(3)12cos15°＋32sin15°.[解](1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝32.(3)∵12＝cos60°，32＝sin60°，∴12cos15°＋32sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22.利用公式C(α－β)求值的思路方法(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接化简求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，然后正确地顺用公式或逆用公式求值．[类题通法][针对训练]1．求2cos10°－sin20°sin70°的值．解：原式＝2cos10°－sin20°cos20°＝2cos（30°－20°）－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝3.探究点二给值（式）求值问题[典例精析]2．(1)若sinα－sinβ＝32，cosα－cosβ＝12，则cos(α－β)的值为()A.12B.32C.34D．1(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cosα的值．[解](1)由sinα－sinβ＝32，cosα－cosβ＝12，得sin2α＋sin2β－2sinαsinβ＝34，①cos2α＋cos2β－2cosαcosβ＝14，②①＋②得2－2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1.∴sinαsinβ＋cosαcosβ＝12.∴cos(α－β)＝12.(2)∵α，β为锐角，∴0α＋βπ.又∵cos(α＋β)＝12130，∴0α＋βπ2，又∵cos(2α＋β)＝35，∴02α＋βπ2，∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.答案：(1)A给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．[类题通法](2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[针对训练]2．已知π4＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos2α的值．解：∵π4＜β＜α＜3π4，∴0＜α－β＜π2，π2＜α＋β＜3π2.又sin(α＋β)＝－35，∴π＜α＋β＜3π2，从而有cos(α＋β)＝－45.∵cos(α－β)＝1213，∴cos(β－α)＝1213，sin(β－α)＝－513.∴cos2α＝cos[(α＋β)－(β－α)]＝cos(α＋β)cos(β－α)＋sin(α＋β)sin(β－α)＝－45×1213＋－35×－513＝－3365.探究点三给值求角问题[典例精析]3．已知cosα＝55，cos(α＋β)＝－1010，且0βαπ2，求β的值．[解]因为0βαπ2，所以0α＋βπ，由cosα＝55，cos(α＋β)＝－1010，得sinα＝255，sin(α＋β)＝31010，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1010×55＋31010×255＝22.所以β＝π4.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；(3)结合三角函数值及角的范围求角．[类题通法][针对训练]3．已知sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝45，0αβπ，求α－β的值．解：因为(sinα＋sinβ)2＝352，(cosα＋cosβ)2＝452，以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1.所以cos(α－β)＝－12.因为0αβπ，所以－πα－β0，所以α－β＝－2π3.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是两角差的余弦公式，难点是公式的推导及应用．2．要掌握两角差的余弦公式的三个应用(1)解决给角求值问题，见探究点一；(2)解决给值(式)求值问题，见探究点二；(3)解决给值求角问题，见探究点三.3．本节课的易错点是：利用两角差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误.