2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.3 立体几何中的向量方法（二）课件

3.3立体几何中的向量方法(二)目标定位重点难点1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题2.能用向量方法解决长度、距离问题3.体会向量方法在研究几何问题中的作用重点：用向量方法求空间中的角、距离难点：用向量方法求空间中的角、距离1．利用向量求空间角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝____________＝____________0，π2|cos〈a，b〉||a·b||a||b|角的分类向量求法范围直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝____________＝|a·n||a||n|0，π2二面角设二面角αlβ的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝______________＝|n1·n2||n1||n2|，θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉0，π|cos〈a，n〉||cos〈n1，n2〉|2．利用向量求空间距离|AB→||BA→·n||n|1．若平面α的一个法向量n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的余弦值为()A．－1111B.1111C.11011D．91333【答案】D【解析】cos〈a,n〉＝a·n|a||n|＝－4311，l与α所成角的余弦值为1－－43112＝91333.2．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，O为BC中点，设三棱柱的棱长为2a，则点A(3a,0,0)，B(0，a,0)，B1(0，a,2a)，M(0，－a，a)，AB1→＝(－3a，a,2a)，BM→＝(0，－2a，a)，∴AB1→·BM→＝0，因此异面直线AB1与BM所成的角为90°.3．正三棱柱ABCA1B1C1各棱长均为1，M为CC1的中点，则点B1到截面A1BM的距离为()A.2B．22C．12D．32【答案】B【解析】设AC中点为O，A1C1中点为O1，以O为原点，OB，OC，OO1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，M0，12，12，A10，－12，1，B32，0，0，B132，0，1，A1B→＝32，12，－1，BM→＝－32，12，12，设平面A1BM的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B→＝0，n·BM→＝0，即32x＋12y－z＝0，－32x＋12y＋12z＝0.设x＝23，则y＝2，z＝4，故其中一个法向量n＝(23，2,4).BB1→＝(0,0,1)，d＝|BB1→|·|cos〈BB1→，n〉|＝|BB1→·n||n|＝23×0＋2×0＋4×142＝22.故选B.4．已知平面ABC与平面ABD交于直线AB，若平面ABC的一个法向量为m＝(1,1，2)，平面ABD的一个法向量为n＝(2，0,2)，则二面角C－AB－D的余弦值为_________．【答案】±32【解析】cos〈m，n〉＝2＋0＋224×6＝32，则二面角C－AB－D的余弦值为±32.【解题探究】建立适当的直角坐标系，求线面的夹角转化为求线与线的夹角．利用空间向量求空间角【例1】正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C1－32a，a2，2a，AC1→＝－32a，a2，2a.显然平面ABB1A1与x轴垂直，它的一个法向量为n＝(1,0,0)．设AC1与侧面ABB1A1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈AC1→，n〉|＝|AC1→·n||AC1→||n|＝32a3a＝12.∴θ＝30°，即AC1与平面ABB1A1所成的角为30°.利用向量知识求直线与平面所成角的关键是求出平面的一个法向量，然后利用夹角公式求解，注意向量夹角与线面角之间余弦值与正弦值的转化．【例2】如图，四棱锥PABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上且PE＝2EA.求二面角ABED的余弦值．【解题探究】建立适当的直角坐标系，求二面角的余弦值转化为求两平面法向量夹角的余弦值．【解析】以B为原点，以BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设平面EBD的一个法向量为n1＝(x，y，z)，因为BE→＝(0,2,1)，BD→＝(3,3,0)，由n1·BE→＝0，n1·BD→＝0得2y＋z＝0，3x＋3y＝0，设z＝1，所以x＝12，y＝－12，即n1＝12，－12，1.又因为平面ABE的一个法向量为n2＝(1,0,0)，所以cos〈n1，n2〉＝16＝66.由图知二面角ABED为锐角，所以二面角ABED的余弦值为66.用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的夹角的大小是不是二面角的大小(相等或互补)，要根据图形观察得到结论.1．如图，四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝2，CD＝4，E是PB的中点，以DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系．(1)求异面直线AE与CP所成角的余弦值；(2)若点F∈平面ABCD且FE⊥平面PBC，求F点的坐标；(3)求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值．【解析】(1)由题意得A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0,2)，C(0,4,0)．∵E为PB中点，∴E(1,1,1)．∴AE→＝(－1,1,1)，CP→＝(0，－4,2)．∴cos〈AE→，CP→〉＝AE→·CP→|AE→||CP→|＝－23×25＝－1515.∴异面直线AE与CP所成角的余弦值为1515.(2)设F(x，y,0)，∴EF→＝(x－1，y－1，－1)．∵EF→⊥平面PBC，∴EF→·CP→＝0，EF→·BC→＝0.又CP→＝(0，－4,2)，BC→＝(－2,2,0)，∴－4y－1－2＝0，－2x－1＋2y－1＝0.∴x＝12，y＝12.∴F12，12，0.(3)由(2)知EF→＝－12，－12，－1是平面PBC的法向量，AB→＝(0,2,0)，设直线AB与平面PBC所成角为α，则sinα＝|cos〈AB→，EF→〉|＝AB→·EF→|AB→|·|EF→|＝－12×62＝66.∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为66.【例3】如下图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D两点间的距离．利用空间向量求空间距离【解题探究】两点间的距离转化为向量模的运算．【解析】∵∠ACD＝90°，∴AC→·CD→＝0.同理AC→·BA→＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈BA→，CD→〉＝60°或120°.又BD→＝BA→＋AC→＋CD→，∴BD→·BD→＝|BA→|2＋|AC→|2＋|CD→|2＋2BA→·AC→＋2BA→·CD→＋2AC→·CD→＝3＋2×1×1×cos〈BA→，CD→〉＝4，〈BA→，CD→〉＝60°，2，〈BA→，CD→〉＝120°.∴|BD→|＝2或2，即B，D两点间的距离为2或2.求两点间距离或某线段的长度的方法：把此线段用向量表示，然后利用|a|＝a2转化为向量运算．【例4】已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．【解题探究】建立适当的坐标系，点到面的距离转化为两点间距离．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，得BE→＝(0,2,0)，GE→＝(4,2，－2)，EF→＝(－2,2,0)．设平面GEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有n·GE→＝0，n·EF→＝0，即2x＋y－z＝0，－x＋y＝0.令x＝1，则y＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3)．点B到平面GEF的距离为d＝BE→·n|n|＝0，2，0·1，1，311＝21111.用向量法求点到平面的距离，垂线常常不必作出来，只须设出垂线段对应的向量或平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为解方程组求其法向量．2．(2018年江苏无锡期末)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1.(1)求二面角B－DE－C的大小；(2)求点F到平面BDE的距离．解：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，∴AF⊥平面ABCD．分别以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，E(2，2，1)，F(0,0,1)．(1)平面CDE的一个法向量为h1＝(0,1,0)，设平面BDE的法向量为h2＝(x，y，z)，又BD→＝(－2，2，0)，BE→＝(0，2，1)，则h2·BD→＝－2x＋2y＝0，h2·BE→＝2y＋z＝0，令x＝1，解得y＝1，z＝－2，则h2＝(1,1，－2)．∴cos〈h1，h2〉＝h1·h2|h1||h2|＝12.由图形可得二面角B－DE－C为锐角，∴二面角B－DE－C等于60°.(2)EF→＝(－2，－2，0)，平面BDE的一个法向量为h2＝(1,1，－2)，则点F到平面BDE的距离为d＝|EF→·h2||h2|＝|－22|2＝2.二面角与向量夹角的转化易出错【示例】如图，正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别为AC和BC边上的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，则二面角BACD的余弦值为________．【错解】如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则D(0,0,0)，A(0,0，a)，B(a,0,0)，C(0，3a,0)，∴AB→＝(a,0，－a)，BC→＝(－a，3a,0)，BD→＝(－a,0,0)．由题设，知BD→为平面ACD的一个法向量．设平面ACB的一个法向量为n＝(x，y，z)，而AB→＝(a,0，－a)，BC→＝(－a，3a,0)，则n·AB→＝ax－az＝0，n·BC→＝－ax＋3ay＝0.令x＝1，得z＝1，y＝33，∴平面ACB的一个法向量为n＝1，33，1.∴n·BD→＝－a.∴cos〈n，BD→〉＝－aa·1＋13＋1＝－217.∴二面角BACD的余弦值为－217.【错因分析】分清二面角的两个半平面的法向量的夹角是等于二面角，还是它的补角．【正解】同错解可得cos〈n，BD→〉＝－217.结合图形，可知二面角BACD为锐角，∴二面角BACD的余弦值为217.【警示】正确区分平面间的夹角、二面角的平面角，并准确把握它们与法向量夹角的关系是解答此类问题的前提和关键．1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题．2．通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(夹角、距离等问题)．3．根据运算结果的几何意义来解释相关问题．1．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为()A.105B．155C．45D．25【答案】B【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，则OE→＝(－1,1,1)，FD1→＝(－1