2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法（一）课件

3.2立体几何中的向量方法(一)目标定位重点难点1.理解直线的方向向量、平面的法向量，会求平面的法向量2.能利用直线的方向向量和平面的法向量解决平行问题3.能利用直线的方向向量和平面的法向量解决垂直问题重点：用向量方法解决平行与垂直问题难点：用向量方法解决立体几何问题1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线___________向量．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的__________a，则a叫作平面α的法向量．平行的非零方向向量3．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔_______⇔______________________________.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，若l⊄α，则l∥α⇔a⊥u⇔_________⇔____________________.a＝kba1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈Ra·u＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔________⇔______________________________.4．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔________⇔________⇔____________________.u＝kva1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈Ra⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(2)线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔________.(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔______⇔________⇔___________________.u＝kvu⊥vu·v＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝01．若点A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A．(2,2,6)B．(－1,1,3)C．(3,1,1)D．(－3,0,1)【答案】A.【解析】∵AB→＝(2,1,2)－(1,0，－1)＝(1,1,3)，(2,2,6)＝2(1,1,3)，∴(2,2,6)是直线l的一个方向向量．故选A．2．设平面α内两个向量的坐标分别为(1,2,1)，(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是()A．(－1，－2,5)B．(－1,1，－1)C．(1,1,1)D．(1，－1，－1)【答案】B【解析】∵(－1,1，－1)·(1,2,1)＝－1＋2－1＝0，(－1，1，－1)·(－1,1,2)＝1＋1－2＝0，∴向量(－1,1，－1)是平面α的法向量．故选B.3．若平面α与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，则平面α与β的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断【答案】A【解析】∵a＝(1,0，－2)＝－(－1,0,2)＝－b，∴a∥b.∴α∥β.【答案】B【解析】∵α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，∴(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.4．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则实数x的值为()A．10B．－10C．12D．－12【例1】如下图，在长方体OAEBO1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上且AP＝2PA1，点S在棱BB1上且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS.利用空间向量解决平行问题【解题探究】建立适当的直角坐标系，证明线线平行转化为证明方向向量共线．【证明】如题图所示，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)，∵AP＝2PA1，∴AP→＝2PA1→＝23AA1→，即AP→＝23(0,0,2)＝0,0，43.∴P点坐标为3，0，43.同理可得Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，23，∴PQ→＝－3，2，23＝RS→.∴PQ→∥RS→.又R∉PQ，∴PQ∥RS.证明两直线平行，即证两直线的方向向量共线且不共点，解题的关键是建立适当的坐标系，求出相应点的坐标.1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，求证：平面EFG∥平面HMN.【证明】如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)．∴EF→＝(0，－1,1)，EG→＝(1,0,1)，HM→＝(0,1，－1)，HN→＝(－1,0，－1)．设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG和平面HMN的一个法向量．由m·EF→＝0，m·EG→＝0，得－y1＋z1＝0，x1＋z1＝0.令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．由n·HM→＝0，n·HN→＝0，得y2－z2＝0，－x2－z2＝0.令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．于是有m＝n，∴m∥n.∴平面EFG∥平面HMN.利用空间向量解决垂直问题【例2】如下图所示，在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别为DD′，BD的中点，M在棱CD上且CM＝14，N是C′M的中点．(1)求证：EF⊥B′C；(2)求EF与C′M所成角的余弦值；(3)求FN的长．【解题探究】(1)证明两直线垂直，即证两直线方向向量垂直；(2)利用向量数量积求夹角．【解析】以D为原点，线段DA，DC，DD′所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．(1)【证明】A(1,0,0)，E0，0，12，F12，12，0.故EF→＝12，12，－12.B′C→＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．∴EF→·B′C→＝12，12，－12·(－1,0，－1)＝0.∴EF⊥B′C.(2)C′M→＝0，－14，－1.∴cos〈EF→，C′M→〉＝12×0＋12×－14＋－12×－1122＋122＋－122×－142＋－12＝11751.∴EF与C′M所成角的余弦值为5117.(3)F12，12，0，N0，78，12，∴|FN→|＝12－02＋12－782＋0－122＝14＋964＋14＝418.∴FN的长为418.证明两直线垂直，即证两直线的方向向量垂直，即证两个向量的数量积为0，解题的关键是建立适当的坐标系，求出相应点的坐标．2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．求证：EF⊥平面PAB.【证明】以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．设E(a,0,0)，其中a0,则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0，0,1)，Fa，12，12，EF→＝0，12，12，PB→＝(2a,1，－1)，AB→＝(2a,0,0)．EF→·PB→＝0，所以EF⊥PB.EF→·AB→＝0，所以EF⊥AB.又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B，所以EF⊥平面PAB.考虑问题不全面致误【示例】设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α和l的位置关系：(1)u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；(2)u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；(3)u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．【错解】(1)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0.∴u⊥a.∴l∥α.(2)∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－14a，∴u∥a.∴l⊥α.(3)∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u与a不共线，也不垂直．∴l与α斜交．【错因分析】(1)题易出现只有l∥α这一种情况的错误，错误的原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的不同．【正解】(1)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0.∴u⊥a.∴l⊂α或l∥α.(2)∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－14a，∴u∥a.∴l⊥α.(3)∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u与a不共线，也不垂直．∴l与α斜交．【警示】两直线平行，则这两条直线的方向向量共线；两直线的方向向量共线，则这两条直线平行或重合．1．直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具，是实现空间问题的向量解法的媒介．2．用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理．3．用向量方法证明平行、垂直问题的步骤(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题．1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，则()A．α，β相交但不垂直B．α⊥βC．α∥βD．以上均不正确【答案】B【解析】∵u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，∴u·v＝1×(－2)＋2×2＋(－1)×2＝0.∴u⊥v.∴α⊥β.故选B．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A【答案】B【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则CE→＝12，－12，1，BD→＝(－1，－1,0)，∴CE→·BD→＝0.∴CE⊥BD.故选B.3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z的值为()A．3B．6C．－9D．9【答案】C【解析】∵l⊥平面α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0.解得z＝－9.4．平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)且a为平面ABC的法向量，则y＝______，z＝______.【答案】10【解析】AB→＝(1,1,0)，AC→＝(－1，－1，－2)，∵a为平面ABC的法向量，∴a·AB→＝0，a·AC→＝0，即－1＋y＝0，1－y－2z＝0.解得y＝1，z＝0.