2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空

3．1.1空间向量及其加减运算课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．空间向量(1)定义叫做空间向量．(2)长度叫做向量的长度或.□01在空间，把具有大小和方向的量□02向量的大小□03模课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)表示方法课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)几类特殊的空间向量①零向量：叫做零向量，记为.②单位向量：称为单位向量．③相反向量：□11与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为.④相等向量：称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示或.□08规定长度为0的向量□090□10模为1的向量□12－a□13方向相同且模相等的向量□14同一向量□15相等向量课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．空间向量的加减法(1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练OB→＝OA→＋AB→＝；CA→＝OA→－OC→＝.(2)加法运算律①交换律：a＋b＝；②结合律：(a＋b)＋c＝．□16a＋b□17a－b□18b＋a□19a＋(b＋c)课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．()(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．()(3)0向量是长度为0，没有方向的向量．()(4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是______．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1→－AB→＋BC→化简后的结果是________．(3)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式：课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练①AA1→－CB→＝________.②AB1→＋B1C1→＋C1D1→＝________.③12AD→＋12AB→－12A1A→＝________.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)(教材改编P86T3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用AB→，AD→，AA1→表示向量MN→，则MN→＝________.答案(1)球面(2)BD1→(3)①AD1→②AD1→③12AC1→(4)12AB→＋12AD→＋12AA1→答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析(4)MN→＝MB→＋BC→＋CN→＝12AB→＋AD→＋12(CB→＋BB1→)＝12AB→＋AD→＋12(－AD→＋AA1→)＝12AB→＋12AD→＋12AA1→.解析课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1空间向量的概念例1给出下列命题：①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同；②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1→；③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤只有零向量的模为0.其中假命题的个数是()A．1B．2C．3D．4课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[答案]A[解析]①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量AC→与A1C1→的方向相同，模长也相等，应有AC→＝A1C1→.③真命题．向量的相等满足传递规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．⑤真命题．根据零向量的定义可知．答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】(1)给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量BA→与向量AB→的长度相等．其中正确命题的序号为________．答案④答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如BA→≠AB→但|BA→|＝|AB→|，④正确．解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a＝0，则－a＝0；③|－a|＝|a|，其中正确命题的序号是________．答案②③解析①错误，若|a|＝0，则a＝0；②正确．③正确．答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2空间向量的加减运算例2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量BD1→的是()①(A1D1→－A1A→)－AB→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→；③(AD→－AB→)－DD1→；④(B1D1→－A1A→)＋DD1→.A．①②B．②③C．③④D．①④课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[答案]A[解析]①(A1D1→－A1A→)－AB→＝A1D1→＋AA1→＋BA→＝BD1→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→＝BC→＋BB1→＋C1D1→＝BC1→＋C1D1→＝BD1→；③(AD→－AB→)－DD1→＝BD→＋D1D→＝BD→－DD1→＝BD→－BB1→＝B1D→≠BD1→；④(B1D1→－A1A→)＋DD1→＝B1D1→＋AA1→＋DD1→＝B1D1→＋BB1→＋DD1→＝BD1→＋DD1→≠BD1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD1→，而③④两式的运算结果不为向量BD1→.故选A.答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[结论探究]例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量AC1→的有哪些？①(AB→＋BC→)＋CC1→；②(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→；③(AB→＋BB1→)＋B1C1→；④(AA1→－B1A1→)＋B1C1→.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解①(AB→＋BC→)＋CC1→＝AC→＋CC1→＝AC1→；②(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→＝AD1→＋D1C1→＝AC1→；③(AB→＋BB1→)＋B1C1→＝AB1→＋B1C1→＝AC1→；④(AA1→－B1A1→)＋B1C1→＝(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→＝AB1→＋B1C1→＝AC1→.故①②③④式运算结果都是向量AC1→.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则()课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练A.EF→＋GH→＋PQ→＝0B.EF→－GH→－PQ→＝0C.EF→＋GH→－PQ→＝0D.EF→－GH→＋PQ→＝0答案A解析EF→＋GH→＋PQ→＝AF→－AE→＋CH→－CG→＋D1Q→－D1P→＝0.答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3空间向量证明题例3在如图所示的平行六面体中．求证：AC→＋AB′→＋AD′→＝2AC′→.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[证明]∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC→＝AB→＋AD→，AB′→＝AB→＋AA′→，AD′→＝AD→＋AA′→.∴AC→＋AB′→＋AD′→＝(AB→＋AD→)＋(AB→＋AA′→)＋(AD→＋AA′→)＝2(AB→＋AD→＋AA′→)，又∵AA′→＝CC′→，AD→＝BC→，∴AB→＋AD→＋AA′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AC→＋CC′→＝AC′→，∴AC→＋AB′→＋AD′→＝2AC′→.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升空间向量证明题的注意点利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】借助平行六面体，证明：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．证明作平行六面体ABCD－A′B′C′D′使AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，如图，则：(a＋b)＋c＝(AB→＋AD→)＋AA′→＝AC→＋CC′→＝AC′→，a＋(b＋c)＝AB→＋(AD→＋AA′→)＝AB→＋(BC→＋CC′→)＝AB→＋BC′→＝AC′→，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.在空间，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.3.空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如AB→－AD→，误写成BD→，应为DB→.课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是()A．a＝bB．a＋b为实数0C．a与b方向相同D．|a|＝3答案D解析因为a，b互为相反向量，所以a＝－b，a＋b＝0，a与b方向相反，|a|＝|b|＝3.答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．已知空间向量AB→，BC→，CD→，AD→，则下列结论正确的是()A.AB→＝BC→＋CD→B.AB→－DC→＋BC→＝AD→C.AD→＝AB→＋BC→＋DC→D.BC→＝BD→－DC→答案B解析AB→－DC→＋BC→＝AB→＋BC→＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.答案解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO→＋OB→＝DO→＋OC→，则四边形ABCD是()A．空间四边形B．平行四边形C．等腰梯形D．矩形答案B解析∵AO→＋OB→＝AB→，DO→＋OC→＝DC→，∴AB→＝DC→