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第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型第26课时几类不同增长的函数模型题点知识巩固掌握几个要点提能达标过关掌握几个要点1.掌握4种函数模型——函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,x0,a1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α0且α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定.2.理解3种增速——三种函数的增长速度比较(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上.(2)随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而y=logax(a1)的增长速度越来越慢.(3)存在一个x0,当xx0,有logaxxnax.题点知识巩固1.下列函数中,增长速度最慢的是()A.y=exB.y=lnxC.y=x100D.y=2x答案:B2.如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个小孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下列对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:选C图1中正方体容器中水面面积是定值,故水面高度增加是匀速的,图象应是直线型的;图2中圆锥形容器中水面从下到上越来越大,故水高高度增长的越来越慢,图象是越来越平缓的;图3中球形容器中水面从下到上先是越来越大,到上半球后又越来越小,故水面高度先是增长的越来越慢,到上半球后又增长的越来越快,图象是先平缓,再变陡;图4中容器中水面从下到上先是越来越小,然后又越来越大,故水面高度先是增长的越来越快,然后又越来越慢,其图象是先陡再平缓.故图1错,图2、图3、图4都正确.故选C.3.下面对函数f(x)=log12x,g(x)=12x,与h(x)=x-12在区间(0,+∞)上的衰减情况说法正确的是()A.f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越快,h(x)衰减速度越来越慢B.f(x)衰减速度越来越快,g(x)衰减速度越来越慢,h(x)衰减速度越来越快C.f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢,h(x)衰减速度越来越慢D.f(x)衰减速度越来越快,g(x)衰减速度越来越快,h(x)衰减速度越来越快解析:选C作出f(x)=log12x,g(x)=12x,h(x)=x-12在(0,+∞)上的图象,由图象知,当x∈(0,1)时,三个函数都递减较快,在(1,+∞)时,递减越来越慢,故选C.知识点二指、对、幂三种函数模型比较4.有一组试验数据如表所示:x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04则最能体现这组数据关系的函数模型是()A.y=2x+1-1B.y=x2-1C.y=2log2xD.y=x3解析:选B当x=2.01时,代入各式,B中y=x2-1≈3;当x=3时,代入各式,B中y=x2-1=8,最接近表中数据,故选B.5.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的数值表:x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…其中关于x呈指数型函数变化的变量是________,呈对数型函数变化的变量是________,呈幂函数型变化的变量是________.答案:y1y3y26.已知函数f(x)定义在(0,+∞)上,测得f(x)的函数值如下表:x123456f(x)1.001.541.932.212.432.62试在函数y=x,y=x,y=x2,y=2x-1,y=lnx+1中选择一个函数来描述,则这个函数应该是________.解析:由表中数据可知,f(x)随x的增大而增大,而开始快些以后变慢,适合对数函数模型.答案:y=lnx+17.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.以下四种说法:①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产;④第三年后产量保持不变.其中说法正确的序号是________.解析:由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y=xa(0a1).反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[3,8]的图象可知,总产量C没有变化,即第三年后停产,所以②③正确.答案:②③8.函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图.(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数;(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)f(x);当x∈(x1,x2)时,g(x)f(x);当x∈(x2,+∞)时,g(x)f(x).
本文标题:2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 第26课时
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