2019-2020学年高中数学 第三章 概率章末归纳整合课件 新人教A版必修3

章末归纳整合函数与方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立函数关系，运用解方程(组)或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．本章中应注意概率性质的应用，如必然事件的概率是1、互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率公式等．函数与方程思想【例1】有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件A∪B∪C是必然事件，事件A的概率是事件B的概率的2倍，事件C的概率比事件B的概率大0.2.求事件A，B，C的概率．【分析】欲求各事件的概率，需用题设条件，设出未知量，列出方程求解．【解析】设P(B)＝x，则P(A)＝2P(B)＝2x，P(C)＝P(B)＋0.2＝x＋0.2.又因为A∪B∪C是必然事件且A，B，C两两互斥．故1＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝2x＋x＋(x＋0.2)＝4x＋0.2.所以x＝0.2，故P(A)＝0.4，P(B)＝0.2，P(C)＝0.4.81．要善于挖掘题目中的隐含条件．例如，“两两互斥的事件”，是在提示使用互斥事件的概率加法公式；“A∪B∪C是必然事件”，即P(A∪B∪C)＝1.2．根据已知条件，结合概率加法公式，得到关于所求事件概率的方程(组)，解方程(组)便得结果．运用方程思想解题的关键就是抓住等量关系，列出方程(组)．变式训练1.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04求：(1)派出医生至多2人的概率；(2)派出医生至少2人的概率．【解析】记事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出不少于5名医生”．∵事件A，B，C，D，E，F彼此互斥且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.或1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.转化与化归思想，简单地说就是将复杂的问题转化成简单的问题，将未解决的问题转化成已解决的问题．本章中，有两个主要应用这种思想的解题方法：一是将所求事件的概率转化成所求事件的对立事件的概率；二是在几何概型中，将求概率的问题转化成求长度(面积或体积)比值的问题．转化与化归思想【例2】在[－1,1]上任取两个实数a，b，求一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有两个非负实数根的概率．【分析】求出a，b应满足的条件，将实数对(a，b)转化为平面内的点，用几何概型求解．【解析】方程x2＋2ax＋b2＝0有两个非负实数根，则必须满足|a|≥|b|，x1＋x2＝－2a≥0，x1·x2＝b2≥0.设该事件为A，那么A＝{(a，b)||a|≥|b|且－1≤a≤0}．用图形表示即为图中阴影部分．则P(A)＝S阴影S正方形＝12×1×22×2＝14.8本题将求有关方程的根的概率问题转化为面积型几何概型问题，求解的关键是由一元二次方程根与系数的关系求得所求事件对应的区域面积．先构设变量(a，b)，用(a，b)表示每次试验的结果，再用相应的区域表示出试验的全部结果和所求事件包含的结果，然后求出各区域的面积，代入几何概型的概率公式计算．变式训练2.从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为()A．29B．13C．49D．59【答案】A【解析】直线y＝kx＋b不经过第三象限，即k0，b0，总的基本事件个数是3×3＝9；k0，b0包含的基本事件有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以直线不经过第三象限的概率是p＝29.数形结合思想在本章的应用很广泛，如用集合的关系与运算表示事件的关系与运算，用图表的形式表示一次试验的基本事件以及几何概型中画图表示问题中涉及的量，从而求出事件的概率．数形结合思想【例3】如右图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．【解析】过O作射线OA是随机的，射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．设事件A＝{射线OA落在∠xOT内}，事件A的“几何度量”是60°，而坐标平面的“几何度量”为360°，所以由几何概率公式，得P(A)＝60°360°＝16.8解此题的关键是找到事件A＝{射线OA落在∠xOT内}的“几何度量”是60°，以及坐标平面的“几何度量”为360°.变式训练3.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的2倍的概率．【解析】如图所示，设B是⊙O上的任一点，要使弦长超过半径的2倍，只需∠AOB的度数大于90°，记“弦长超过半径的2倍”为事件E，则E表示的范围是∠AOB∈[90°，270°]，由几何概型求概率的公式得：P(E)＝270°－90°360°＝12.对概率的考查是高考命题的热点之一，在选择题、填空题中可单独考查古典概型和几何概型的计算；在解答题中，常与抽样方法、统计图表等综合命题，考查统计概率的综合运用．1．(2018年新课标Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【答案】B【解析】易知“只用现金支付”、“既用现金支付也用非现金支付”、“不用现金支付”是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.2．(2017年天津)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A．45B．35C．25D．15【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种．故所求概率p＝410＝25.3．(2018年新课标Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3【答案】A【解析】设BC＝2r1，AB＝2r2，AC＝2r3，则r21＝r22＋r23.∴SⅠ＝12×4r2r3＝2r2r3，SⅢ＝12×πr21－2r2r3，SⅡ＝12×πr23＋12×πr22－SⅢ＝12×πr23＋12×πr22－12×πr21＋2r2r3＝2r2r3.∴SⅠ＝SⅡ，即p1＝p2.4．(2018年江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】310【解析】假设2名男生为a，b,3名女生为C，D，E.从中选2名学生去参加活动，总情况有(a，b)，(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种，恰好选中2名女生的情况有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3种，故所求概率为310.5．(2017年山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．解：(1)由题意，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}共15个．所选的两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}共3个，所以所求事件的概率为p1＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}共2个，所以所求事件的概率为p2＝29.