2019-2020学年高中数学 第三章 概率 3.3 几何概型课件 新人教A版必修3

根据以下提纲，预习教材P135～P136，回答下列问题．(1)教材问题中甲获胜的概率与什么因素有关？提示：与两图中标注B的扇形区域的圆弧的长度有关．一、预习教材·问题导入(2)教材问题中试验的结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷个，但每个试验结果发生的概率相等．1.几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①可能出现的结果有；②每个结果发生的可能性相等．2.几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.长度(面积或体积)无限多个二、归纳总结·核心必记(1)几何概型有何特点？提示：几何概型的特点有：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．三、综合迁移·深化思维(2)古典概型与几何概型有何区别？提示：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．探究点一与长度有关的几何概型[思考探究]某班公交车到终点站的时间可能是11：30－12：00之间的任何一个时刻．往方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．(1)这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？提示：无限多个．(2)古典概型和几何概型的异同是什么？名师指津：古典概型和几何概型的异同如表所示：名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等①基本事件有限个①基本事件无限个②P(A)＝0⇔A为不可能事件②P(A)＝0A为不可能事件不同点③P(B)＝1⇔B为必然事件③P(B)＝1B为必然事件[典例精析](1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34(2)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．[解析](1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝2040＝12.故选B.(2)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1，得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝23.[答案](1)B(2)23求解与长度有关的几何概型的关键点在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率．[类题通法]1．在区间[－3,5]上随机取一个实数x，则事件“1≤12x≤4”发生的概率为________．解析：∵1≤12x≤4，∴－2≤x≤0，∵在区间[－3,5]上随机取一个实数x，∴由几何概型概率计算公式得：事件“1≤12x≤4”发生的概率P＝0＋25＋3＝14.答案：14[针对训练]探究点二与面积、体积有关的几何概型[典例精析][典例1]如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为()A.14B.13C.25D.12[解析]设阴影部分小等腰直角三角形的腰长为t，则大等腰直角三角形的腰长为2t，则S阴＝4×12×t2＝2t2，S白＝2S阴＝4t2，设事件A为“飞镖落在阴影部分”，由几何概型中的面积型可得：P(A)＝S阴S阴＋S白＝2t22t2＋4t2＝13.[答案]B解与面积相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．[类题通法]2.(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4[针对训练]解析：选B不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S黑＝12S圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P＝π24＝π8.[典例精析][典例2]如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．[解析]点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝23－12×4π3×1323＝1－π12.答案：1－π12如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．[类题通法]3．如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．[针对训练]解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．∵小水杯中有0.1升水，原瓶中有2升水，∴由几何概型求概率的公式得P(A)＝0.12＝0.05.1．本节课的重点是了解几何概型的意义，会求几何概型的概率．难点是理解几何概型的特点和计算公式．2．本节课要掌握以下几类问题：(1)理解几何概型，注意与长度有关的几何概型的求解关键点，见探究点一．(2)求解与面积相关的几何概型问题的三个关键点，见探究点二．(3)注意与体积有关的几何概型的求解策略，见探究点三．3．本节课的易错点：不能正确求出相关线段的长度或相关区域的面积或相关空间的体积，如探究点一，二，三．