2019-2020学年高中数学 第三章 概率 3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 3.3.2 几

3．3几何概型3．3.1几何概型3．3.2几何概型均匀随机数的产生第三章概率课前自主预习一、几何概型1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与___________________________________________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有____________；(2)每个基本事件出现的可能性____________□01构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例□02无限多个□03相等．3．几何概型的概率公式P(A)＝__________________________________________.注意：(1)公式中的“长度”并不是实际意义的长度．有些书上也叫测度，测度的意义依试验的全部结果构成的区域而定，若区域分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的测度分别是长度、面积和体积．(2)当试验全部结果所构成的区域长度一定时，A的概率只与构成事件A的区域长度有关，而与A的位置形式无关．□04构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积二、均匀随机数均匀随机数的产生(1)均匀随机数的概念如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．(2)均匀随机数的产生方法①计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．②Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”．注意：(1)均匀随机数是随机产生的，在一定的区域长度上出现的机率是均等的．(2)均匀随机数是小数或整数，是连续的数值，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．()(3)几何概型的基本事件有无数多个．()(4)从区间[－1,1]上取一个数，求取到1的概率属于几何概型．()√×√×2．做一做(1)(教材改编P142T2)一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为()A．5B．10C．15D．20解析阴影部分对应的圆心角度数和为15°×4＝60°，所以飞镖落在阴影内的概率为60°360°＝16，飞镖落在阴影内的次数约为30×16＝5.(2)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.45B.35C.25D.15解析在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为P＝1－－23－－2＝35.(3)(教材改编P140T1)如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是13，则小狗图案的面积是()A.π3B.4π3C.8π3D.16π3解析设小狗图案的面积为S1，圆的面积S＝π×42＝16π，由几何概型的计算公式得S1S＝13，得S1＝16π3.故选D.课堂互动探究探究1与长度有关的几何概型例1(1)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.(2)某汽车站每隔15min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10min的概率．3[答案](2)见解析[解析](1)由几何概型及题意，知m0.由|x|≤m，得－m≤x≤m，当0m≤2时，由题意得2m6＝56，解得m＝2.5，矛盾，舍去．当2m4时，由题意得m－－26＝56，解得m＝3，即m的值为3.(2)设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．记“等车时间超过10min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．∴P(A)＝T1T的长度T1T2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10min的概率是13.拓展提升1.解几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；(4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.【跟踪训练1】一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．(1)P＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)解法一：P＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.解法二：P＝1－P(红灯亮)＝1－25＝35.探究2与面积有关的几何概型例2如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝x＋1，x≥0，－12x＋1，x0的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12[解析]依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝S阴影S矩形ABCD＝326＝14，故选B.拓展提升1.解与面积有关的几何概型的关键点此类几何概型问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型公式，从而求得随机事件的概率．2．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.【跟踪训练2】如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．1－2πB.12－1πC.2πD.1π解析设扇形的半径为2，则其面积为π×224＝π.阴影部分的面积可转化为扇形的面积减去△AOB的面积，即阴影部分的面积为π－12×2×2＝π－2.因此任取一点，此点取自阴影部分的概率为π－2π＝1－2π.探究3与体积有关的几何概型例3在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A.6πB.32πC.3πD.233π[解析]由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，即2R＝12＋12＋12，故球的半径R＝32.球的体积V2＝43πR3＝32π.则此点落在正方体内的概率为P＝V1V2＝132π＝233π.拓展提升1.解与体积有关的几何概型的关键点分清题中的条件，提炼出几何体的形状，找出总体积是多少以及所求的事件占有的几何体是什么几何体，并计算出体积．2．与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.【跟踪训练3】在棱长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为()A.16B.56C.π6D．1－π6解析符合条件的点P落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的18球体外．根据几何概型的概率计算公式得P＝23－8×18×43×π×1323＝1－π6.故选D.探究4与角度有关的几何概型例4如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，求射线AP与线段BC有公共点的概率．[解]因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能基本事件对应的区域是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，对应区域为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率P＝∠CAB∠DAB＝30°90°＝13.拓展提升当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．【跟踪训练4】如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AMAC的概率．解因为CM是∠ACB内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB的大小，即为90°，所以作AC′＝AC，且∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM在∠ACC′内部的任意一个位置时，皆有AMAC′＝AC，即P(AMAC)＝67.5°90°＝34.探究5用随机模拟法估计图形的面积例5利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆的面积，如图，并估计圆周率π的近似值．[解](1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝(b1－0.5)*2，得到两组[－1,1]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N和点落在圆内的次数N1(满足a2＋b2≤1的点(a，b)数)．(4)计算频率N1N，即为点落在圆内的概率．(5)设圆的面积为S，由几何概率公式，得P＝S4.∴S4≈N1N，即S≈4N1N即为圆面积的近似值．又∵S圆＝πr2＝π，∴π＝S≈4N1N，即为圆周率π的近似值．拓展提升用随机模拟法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示；(2)利用随机模拟方法求出在规则图形内任取一点，落在阴影部分的概率P(A)＝mn；(3)设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有SS′＝mn，解得S＝mnS′，则所求图形面积的近似值为mnS′.【跟踪训练5】某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路，8路车10分钟一班，23路车15分钟一班．则这位同学等车不超过8分钟的概率为________．6875解析设x轴表示23路车的到站时间，y轴表示8路车的到站时间，记“8分钟内乘坐8路车或23路车”为事件A.如图，则A所占区域面积为8×10＋7×8＝136，整个区域的面积为10×15＝150，那么，等车不超过8分钟的概率P(A)＝136150＝6875.即这位同学等车不超过8分钟的概率为6875.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3.注意理解几何概型与古典概型的区别．4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.5.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数．6.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值．随堂达标自测1．为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可估计阴影部分的面积是()A．12B．9C．8D．6解析易得正方形的面积为6×6＝36，设阴影部分的面积为S，则200800≈S36，即S≈200800×36＝9.2．某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34