2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念

第三章导数及其应用3．1变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念第三章导数及其应用考点学习目标核心素养平均变化率理解函数平均变化率的意义，会求函数的平均变化率数学抽象、数学运算瞬时变化率了解函数瞬时变化率的意义，会求瞬时变化率数学抽象、数学运算函数在某点处的导数理解函数导数的概念，会求函数在某一点处的导数数学抽象、数学运算问题导学预习教材P72～P76，并思考下列问题：1．平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？2．瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？3．如何用定义求函数在某一点处的导数？1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝________________．(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．f（x2）－f（x1）x2－x1■名师点拨(1)函数f(x)应在x1，x2处有定义．(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负．(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)．(4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义式limΔx→0ΔyΔx＝____________________________实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx■名师点拨“Δx无限趋近于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.3．导数的概念定义式limΔx→0ΔyΔx＝_________________________记法_______或y′|x＝x0实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的____________limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δxf′(x0)瞬时变化率■名师点拨函数f(x)在x0处的导数(1)当Δx≠0时，比值ΔyΔx的极限存在，则f(x)在点x0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．(2)f(x)在点x＝x0处的导数的定义可变形为f′(x0)＝limΔx→0f（x0－Δx）－f（x0）－Δx或f′(x0)＝limΔx→x0f（x）－f（x0）x－x0.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()√××函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)答案：D如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为()A．1B．－1C．2D．－2解析：选B．ΔyΔx＝f（3）－f（1）3－1＝1－33－1＝－1.若f(x)在x＝x0处存在导数，则limh→0f（x0＋h）－f（x0）h()A．与x0，h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0，h都无关解析：选B．由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．求函数的平均变化率求函数f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？【解】在x＝1附近的平均变化率为k1＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝（1＋Δx）2－1Δx＝2＋Δx在x＝2附近的平均变化率为k2＝f（2＋Δx）－f（2）Δx＝（2＋Δx）2－22Δx＝4＋Δx在x＝3附近的平均变化率为k3＝f（3＋Δx）－f（3）Δx＝（3＋Δx）2－32Δx＝6＋Δx；若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193，由于k1k2k3，故在x＝3附近的平均变化率最大．求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.(3)求平均变化率ΔyΔx＝f（x1）－f（x0）x1－x0.[注意]Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0.如图是函数y＝f(x)的图象．(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．解析：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为f（1）－f（－1）1－（－1）＝2－12＝12.(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝x＋32，－1≤x≤1，x＋1，1x≤3，所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为f（2）－f（0）2－0＝3－322＝34.答案：(1)12(2)34物体运动的瞬时速度一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为s＝12gt2(g＝10m/s2，位移单位：m，时间单位：s)，求物体在t＝2s时的瞬时速度．【解】因为Δs＝12g(2＋Δt)2－12g×22＝2gΔt＋12g(Δt)2，所以ΔsΔt＝2gΔt＋12g（Δt）2Δt＝2g＋12gΔt，当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于2g，所以物体在t＝2s时的瞬时速度为20m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v－＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．解：因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt＝4a＋aΔt.在t＝2s时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，即4a＝8，所以a＝2.求函数在某点处的导数已知函数f(x)在x＝x0处的导数为4，则limΔx→0f（x0＋2Δx）－f（x0）Δx＝________．【解析】limΔx→0f（x0＋2Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0f（x0＋2Δx）－f（x0）2Δx×2＝2limΔx→0f（x0＋2Δx）－f（x0）2Δx＝2f′(x0)＝2×4＝8.【答案】8(1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤简称：一差、二比、三极限．(2)瞬时变化率的变形形式limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0f（x0－Δx）－f（x0）－Δx＝limΔx→0f（x0＋nΔx）－f（x0）nΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）2Δx＝f′(x0)．已知f′(1)＝－2，求limΔx→0f（1－2Δx）－f（1）Δx.解：limΔx→0f（1－2Δx）－f（1）Δx＝(－2)×limΔx→0f（1－2Δx）－f（1）－2Δx＝(－2)×(－2)＝4.1．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1k2B．k1k2C．k1＝k2D．不能确定解析：选A．k1＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝（x0＋Δx）2－x20Δx＝2x0＋Δx，k2＝f（x0）－f（x0－Δx）Δx＝x20－（x0－Δx）2Δx＝2x0－Δx.由题意知Δx0，所以k1k2，选A．2．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．0解析：选C．f′(0)＝limΔx→0（0＋Δx）2－3（0＋Δx）－02＋3×0Δx＝limΔx→0（Δx）2－3ΔxΔx＝limΔx→0(Δx－3)＝－3.故选C．3．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26m/s，则实数m的值为()A．2B．1C．－1D．6解析：选B．由已知，得s（3）－s（2）3－2＝26，所(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，选B．4．求函数y＝f(x)＝12＋3x在x＝1处的导数．解：由导数定义知，Δy＝f(1＋Δx)－f(1)，则ΔyΔx＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝12＋3（1＋Δx）－12＋3×1Δx＝－3Δx5（5＋3Δx）Δx＝－35（5＋3Δx），所以f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－35（5＋3Δx）＝－325.即函数f(x)＝12＋3x在x＝1处的导数为－325.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放