2019-2020学年高中数学 第三章 不等式章末总结课件 新人教A版必修5

章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)1.某变量y不超过a可表示为“y≥a”.()×2.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,则a≥b.()√3.若ab,b≠0,则ab1.()×4.ax2+bx+c0是一元二次不等式.()×5.点(2,0)不在3x+2y6表示的平面区域内.()√6.因为x,y为正实数,所以lgx+lgy≥2lglgxy.()×7.若x0,y0,且x+y=2,则2xy的最大值为1.()×8.函数y=sinx+4sinx,x∈(0,π2]的最小值为4.()×题型探究·素养提升题型一不等式的性质及应用[典例1]如果a,b,c满足cba且ac0,则下列选项中不一定成立的是()(A)abac(B)c(b-a)0(C)cb2ab2(D)ac(a-c)0解析:cba,ac0⇒a0,c0,对于A,0bca＞＞⇒abac,A正确.对于B,00babac＜＜＜⇒c(b-a)0,B正确;对于C,20cab＜⇒cb2≤ab2cb2ab2,C不一定成立.对于D,ac0,a-c0⇒ac(a-c)0,D正确.故选C.规律总结(1)要注意每个性质的条件,看条件是否具备,做到有根有据,严谨科学.(2)抓住不等式条件及结论的式子结构,看它是“+”“-”结构,还是“×”“÷”结构,联系性质,灵活变形即可.题型二一元二次不等式的解法[典例2]已知不等式ax2-3x+20的解集为{x|x1或xb}.(1)求a,b;解:(1)因为不等式ax2-3x+20的解集为{x|x1或xb},所以a0,1与b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b1.由根与系数的关系,得31,21,baba解得1,2.ab(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc0.解:(2)由(1)知原不等式为x2-(c+2)x+2c0,即(x-2)(x-c)0.①当c2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为{x|2xc};②当c2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为{x|cx2};③当c=2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为.所以当c2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为{x|2xc};当c2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为{x|cx2};当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为.规律总结解含参数的不等式,一般分类标准有:(1)按二次项系数等于0与不等于0分类;(2)二次项系数不为零时,按判别式Δ进行分类;(3)当Δ0时,按根的大小进行分类.(1)解析:作出可行域如图阴影部分所示,作出直线l0:2x-y=0,将l0平移至过点A处时,函数z=2x-y有最大值.由03xyx得A(3,-3),所以zmax=2×3-(-3)=9.题型三简单的线性规划[典例3](1)若x,y满足约束条件0,30,03,xyxyx则z=2x-y的最大值为.答案:9(2)某企业生产A,B两种产品,生产每吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表:产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元,生产每吨B产品的利润是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦,试问该企业生产A,B两种产品各多少吨,才能获得最大利润?(2)解:设分别生产A,B两种产品x吨、y吨,利润为z万元,则310300,94360,45200,0,0,xyxyxyxyz=7x+12y,作出可行域,如图阴影部分所示.当直线7x+12y=0向右上方平行移动时,经过M(20,24)时z取最大值.所以该企业生产A,B两种产品分别为20吨和24吨时,才能获得最大利润.规律总结(1)求目标函数最值的一般步骤为一画、二移、三求.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义.(2)在约束条件是线性的情况下,线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值,在解答选择题或者填空题时也可以根据可行域的顶点直接进行检验.解:(1)因为0x2,所以03x6,所以8-3x0,所以y=x(8-3x)=13·3x·(8-3x)≤13(3832xx)2=163,当且仅当3x=8-3x,即x=43时取等号,所以当x=43时,y=x(8-3x)有最大值,最大值为163.题型四利用基本不等式求最值[典例4](1)已知0x2,求函数y=x(8-3x)的最大值;解:(2)因为x1,所以y=22222xxx=2(1)12(1)xx=12[(x-1)+11x]≥12×21(1)1xx=1.当且仅当x-1=11x,即x=2时取等号,所以当x=2时,y=22222xxx有最小值,最小值为1.(2)已知x1,求函数y=22222xxx的最小值.规律总结在实际运用中,经常涉及函数f(x)=x+kx(k0),一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等,构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.(A)6(B)19(C)21(D)45真题体验1.(2018·天津卷)设变量x,y满足约束条件5,24,1,0,xyxyxyy则目标函数z=3x+5y的最大值为()C解析:画出可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+5y得y=-35x+5z.设直线l0为y=-35x,平移直线l0,当直线y=-35x+5z过点P(2,3)时,z取得最大值,zmax=3×2+5×3=21.故选C.2.(2018·全国Ⅰ卷)若x,y满足约束条件220,10,0,xyxyy则z=3x+2y的最大值为.解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.由z=3x+2y得y=-32x+2z.作直线l0:y=-32x.平移直线l0,当直线y=-32x+2z过点(2,0)时,z取最大值,zmax=3×2+2×0=6.答案:63.(2018·全国Ⅱ卷)若x,y满足约束条件250,230,50,xyxyx则z=x+y的最大值为.解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).目标函数z=x+y取得最大值⇔斜率为-1的平行直线x+y=z(z看作常数)的截距最大,由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.由5,230xxy得点C(5,4),所以zmax=5+4=9.答案:9规律方法向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.4.(2018·浙江卷)若x,y满足约束条件0,26,2,xyxyxy则z=x+3y的最小值是,最大值是.解析:由0,26,2,xyxyxy①②③画出可行域如图,由26,2,xyxy解得A(4,-2),由0,26,xyxy解得B(2,2),将函数y=-13x的图象平移可知,当目标函数的图象经过A(4,-2)时,zmin=4+3×(-2)=-2;当目标函数的图象经过B(2,2)时,zmax=2+3×2=8.答案:-285.(2018·北京卷)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是.解析:由条件得1,2,xyyx即10,20,xyxy作出可行域,如图阴影部分所示.设z=2y-x,即y=12x+12z,作直线l0:y=12x并向上平移,显然当l0过点A(1,2)时,z取得最小值,zmin=2×2-1=3.答案:3