2019-2020学年高中数学 第三章 不等式章末小结与测评课件 新人教A版必修5

章末小结与测评1.一元二次不等式的求解流程(1)一化：化二次项系数为正数．(2)二判：判断对应方程的根．(3)三求：求对应方程的根．(4)四画：画出对应函数的图象．(5)五解集：根据图象写出不等式的解集．2．含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式的问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况进行讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化为用其根x1，x2表示成形如a(x－x1)(x－x2)的形式时，往往需要对其根分x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．[典例1](1)解不等式－1＜x2＋2x－1≤2；(2)解不等式a（x－1）x－2＞1(a≠1)．解：(1)原不等式等价于x2＋2x－1＞－1，x2＋2x－1≤2，即x2＋2x＞0；①x2＋2x－3≤0，②由①得x(x＋2)＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图，求其交集得原不等式的解集为x|－3≤x＜－2或0＜x≤1.(2)原不等式可化为a（x－1）x－2－1＞0，即(a－1)(x－a－2a－1)(x－2)＞0(*)，①当a＞1时，(*)式即为(x－a－2a－1)(x－2)＞0，而a－2a－1－2＝－aa－1＜0，所以a－2a－1＜2，此时x＞2或x＜a－2a－1.②当a＜1时，(*)式即为(x－a－2a－1)(x－2)＜0，而2－a－2a－1＝aa－1，a．若0＜a＜1，则a－2a－1＞2，此时2＜x＜a－2a－1；b．若a＝0，则(x－2)2＜0，此时无解；c．若a＜0，则a－2a－1＜2，此时ɑ－2a－1＜x＜2.综上所述，当a＞1时，不等式的解集为x|x＜a－2a－1或x＞2；当0＜a＜1时，不等式的解集为x|2＜x＜a－2a－1；当a＝0时，不等式的解集为∅；当a＜0时，不等式的解集为x|a－2a－1＜x＜2.[典例2]若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________.解析：因为ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m＞1⇒m＞1，1＋m＝6a，1·m＝a⇒m＝2，a＝2.答案：2[典例3]设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1，4]，求实数a的取值范围．解：M⊆[1，4]有两种情况：其一是M＝∅，此时Δ＜0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ＞0，下面分三种情况计算a的取值范围．设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M＝∅⊆[1，4]；(2)当Δ＝0时，a＝－1或2；当a＝－1时，M＝－1[1，4]；当a＝2时，M＝2⊆[1，4]．(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)＝0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么M＝[x1，x2]，M⊆[1，4]⇔1≤x1≤x2≤4⇔f（1）≥0，且f（4）≥0，1≤a≤4，且Δ＞0.即－a＋3≥0，18－7a≥0，1≤a≤4，a＜－1或a＞2.解得2＜a≤187.∴M⊆[1，4]时，a的取值范围是(－1，187]．[对点训练]1．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1，3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．解：(1)∵f(x)＋2x＞0的解集为(1，3)，设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a＜0.因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，即5a2－4a－1＝0.解得a＝1或a＝－15.由于a＜0，舍去a＝1.将a＝－15代入①得f(x)的解析式f(x)＝－15x2－65x－35.(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－1＋2aa)2－a2＋4a＋1a.又a＜0，可得f(x)的最大值为－a2＋4a＋1a.由－a2＋4a＋1a＞0，a＜0，解得a＜－2－3或－2＋3＜a＜0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).对于恒成立不等式求参数范围问题，常见类型及解法有以下几种：1．变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．2．分离参数法若f(a)＜g(x)恒成立，则f(a)＜g(x)min.若f(a)＞g(x)恒成立，则f(a)＞g(x)max.3．数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．[典例4](1)设函数f(x)＝mx2－mx－6＋m.若对于m∈[－2，2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若关于x的不等式4x＋mx2－2x＋3＜2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)设f(x)＝m(x2－x＋1)－6＝g(m)，则g(m)是关于m的一次函数，且一次项系数为x2－x＋1.∵x2－x＋1＝(x－12)2＋34＞0，∴g(m)在[－2，2]上递增．∴g(m)＜0等价于g(2)＝2(x2－x＋1)－6＜0，即－1＜x＜2.∴所求的x的取值范围为(－1，2)．(2)法一：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，∴不等式4x＋mx2－2x＋3＜2⇔4x＋m＜2x2－4x＋6，即2x2－8x＋6－m＞0，要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m＞0，对任意实数x恒成立，∴Δ＜0，即64－8(6－m)＜0，整理并解得m＜－2.∴实数m的取值范围是(－∞，－2)．法二：由法一可知，要使4x＋mx2－2x＋3＜2对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m＞0恒成立即可．变形为m＜2x2－8x＋6，设h(x)＝2x2－8x＋6，要使m＜2x2－8x＋6恒成立，只要m＜h(x)min.而h(x)＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴h(x)min＝－2.∴m＜－2.即m的取值范围为(－∞，－2)．[典例5]若x＞0，y＞0，且不等式x＋y－ax＋y≤0恒成立，求a的取值范围．解：由不等式可得a≥x＋yx＋y，而(x＋yx＋y)2＝x＋y＋2xyx＋y，由于x＋y≥2xy，所以x＋y＋2xyx＋y≤2，即x＋yx＋y的最大值为2，故a的取值范围是[2，＋∞)．[对点训练]2．对于任意实数x，若不等式sin4x－asin2x＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：由原不等式可得asin2x≤sin4x＋1.(1)当sinx＝0时，化为0＜1，恒成立，故a∈R.(2)当sinx≠0时，a≤sin4x＋1sin2x＝sin2x＋1sin2x.问题转化为求a小于或等于f(x)＝sin2x＋1sin2x的最小值问题．因sin2x＋1sin2x≥2，当且仅当sin2x＝1sin2x，即sin2x＝1时等号成立．即f(x)的最小值为2，于是a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2].基本不等式通常用来求最值问题：一般用a＋b≥2ab(a＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤(a＋b2)2求“定和求积，积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件；“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．[典例6]设函数f(x)＝x＋ax＋1，x∈[0，＋∞)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0＜a＜1时，求函数f(x)的最小值．解：(1)把a＝2代入f(x)＝x＋ax＋1，得f(x)＝x＋2x＋1＝(x＋1)＋2x＋1－1，∵x∈[0，＋∞)，∴x＋1＞0，2x＋1＞0，∴x＋1＋2x＋1≥22.当且仅当x＋1＝2x＋1，即x＝2－1时，f(x)取最小值．此时，f(x)min＝22－1.(2)当0＜a＜1时，f(x)＝x＋1＋ax＋1－1.若x＋1＋ax＋1≥2a，则当且仅当x＋1＝ax＋1时取等号，此时x＝a－1＜0(不合题意)，因此，上式等号取不到．设x1＞x2≥0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1＋1－x2－ax2＋1＝(x1－x2)[1－a（x1＋1）（x2＋1）]，∵x1＞x2≥0，∴x1－x2＞0，x1＋1＞1，x2＋1≥1.∴(x1＋1)(x2＋1)＞1，而0＜a＜1.∴a（x1＋1）（x2＋1）＜1，∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝a.[对点训练]3．若x，y是正数，则(x＋12y)2＋(y＋12x)2的最小值是()A．3B.72C．4D.92解析：选C∵(x＋12y)2＋(y＋12x)2＝x2＋xy＋14y2＋y2＋yx＋14x2＝(x2＋14x2)＋(y2＋14y2)＋yx＋xy≥2x2·14x2＋2y2·14y2＋2yx·xy＝4，当且仅当x＝y＝22时，(x＋12y)2＋(y＋12x)2取得最小值4.4．设a0，若对于任意的正数m，n，都有m＋n＝8，则满足1a≤1m＋4n＋1的a的取值范围是________．解析：由m＋n＝8可得m＋n＋1＝9，故1m＋4n＋1＝19(m＋n＋1)1m＋4n＋1＝191＋4＋n＋1m＋4mn＋1≥19×(5＋24)＝99＝1，当且仅当n＋1＝2m，即m＝3，n＝5时等号成立，∴只需1a≤1，即a≥1.答案：[1，＋∞)简单线性规划问题的解法称为图解法，即通过研究一族平行直线与可行域有交点时，直线在y轴上截距的最大(小)值求解，其步骤如下：(1)设出未知数，确定目标函数；(2)确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；(3)由目标函数z＝ax＋by变形为y＝－abx＋zb，所以求z的最值可看成是直线y＝－abx＋zb在y轴上截距的最值；(4)作平行线：将直线ax＋by＝0平移(即作ax＋by＝0的平行线)，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使zb最大(或最小)时所经过的点；(5)求出最优解，将该点代入目标函数，从而求出z的最大(或最小)值．[典例7]某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(t)电(kW·h)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360t，并且供电局只能供电200kW，试问该企业生产A、B两种产品多少吨，才能获得最大利润？解：设分别生产A、B两种产品x吨，y吨，利润为z万元，则3x＋10y≤300，9x＋4y≤360，4x＋5y≤200，x≥0，y≥0，z＝7x＋12y作出可行域，如图阴影所示．当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M(20，24)时z取最大值．∴该企业生产A、B两种产品分别为20t和24t时，才能获得最大利润．[对点训练]5．已知正数x，y满足2x－y≤0，x－3y＋5≥0，则z＝4－x·12y的最小值为()A．1B.1432C.116D.132解析：选Cz＝4－x·12y＝2－2x－y.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知当直线m＝－2x－y经过点A时，m取得最小值．由2x－y＝0，x－3y＋5＝0，得A(1,2