2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 第3节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 第

第3课时线性规划的实际应用讲一讲1．某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？[尝试解答]设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台(x，y∈N)，总利润为z百元，则根据题意，有x≥0，y≥0，30x＋20y≤300，5x＋10y≤110，且z＝6x＋8y，作出以上不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分．令z＝0，作直线l：6x＋8y＝0，即3x＋4y＝0.当移动直线l过图中的A点时，z＝6x＋8y取得最大值．解方程组30x＋20y＝300，5x＋10y＝110，得A(4，9)，代入z＝6x＋8y得zmax＝6×4＋8×9＝96.所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元．线性规划解应用题的解题步骤(1)建模．这是解决线性规划问题极为重要的环节．根据题意，设出变量，建立目标函数．(2)求解．列出线性约束条件，借助图形确定目标函数取得最值的位置，并求出最值．(3)还原．把数学问题还原为实际问题，以便用来指导我们的实际生活．练一练1．某化工集团在靠近某河流处修建两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万立方米/天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万立方米/天的支流并入大河(如图)．第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万立方米；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万立方米，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化．环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，因此，这两个工厂都需各自处理部分工业废水，第一化工厂处理工业废水的成本是1000元/万立方米，第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万立方米．试问：在满足环保要求的条件下，两个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小？解：设第一化工厂每天处理工业废水x万立方米，需满足：2－x500≤0.2%，0≤x≤2；设第二化工厂每天处理工业废水y万立方米，需满足：0.8（2－x）＋（1.4－y）700≤0.2%，0≤y≤1.4.两个化工厂每天处理工业废水总的费用为1000x＋800y元．问题即为：在约束条件2－x500≤0.2%，0.8（2－x）＋（1.4－y）700≤0.2%，0≤x≤2，0≤y≤1.4，即x≥1，4x＋5y－8≥0，0≤x≤2，0≤y≤1.4，求目标函数z＝200(5x＋4y)的最小值．如图，作出可行域．可知当x＝1，y＝0.8时目标函数有最小值，即第一化工厂每天处理工业废水1万立方米，第二化工厂每天处理工业废水0.8万立方米，能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小．讲一讲2．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？(链接教材P88－例5)[尝试解答]设A，B两种药品分别为x片和y片(x，y∈N)，则有2x＋y≥12，5x＋7y≥70，x＋6y≥28，x≥0，y≥0，两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.如图所示，作直线l：x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．解方程组2x＋y＝12，5x＋7y＝70，得交点A坐标149，809.由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1，10)，(2，9)，(3，8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析．练一练2．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张(x，y∈N)．可得2x＋y≥15，x＋2y≥18，x＋3y≥27，求目标函数z＝x＋y取得最小值时的x、y.作可行域如图所示，平移直线z＝x＋y，可知直线经过点A185，395，此时x＋y＝575，但185与395都不是整数，所以可行域内的点A185，395不是最优解，如何求整点最优解呢？法一：(平移求解法)：首先在可行域内打网格，其次描出A185，395附近的所有整点，接着平移直线l：x＋y＝0，会发现当移至B(3，9)、C(4，8)时，z取得最小值12.法二：(特值验证法)：由方法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的地方，依次满足条件的整点A0(0，15)，A1(1，13)，A2(2，11)，A3(3，9)，A4(4，8)，A5(5，8)，A6(6，7)，A7(7，7)，A8(8，7)，A9(9，6)，A10(10，6)，…，A27(27，0)．将这些点的坐标分别代入z＝x＋y，求出各个对应值，经验证可知，在整点A3(3，9)和A4(4，8)处z取得最小值．法三：(调整优值法)：由非整点最优解185，395，z＝575，∴z≥12.令x＋y＝12，y＝12－x代入约束条件整理得3≤x≤92，∴x＝3和x＝4，这时最优整点为(3，9)和(4，8)．故有两种截法：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法最少要截两种钢板共12张．——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————1．本节课的重点是线性规划的实际应用问题和实际应用中的最优整数解问题．其中最优整数解问题也是本节课的难点和易错点．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)线性规划解应用题的步骤，见讲1.(2)寻找整点最优解的三种方法①平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．②小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．③调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．