2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 第二课时 简单线性规

第二课时简单线性规划的应用[目标导航]课标要求1.会从实际情境中列举出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.2.了解简单的线性规划最优整数解的求解方法.素养达成通过对简单线性规划应用的学习,培养学生数据处理能力及数学建模能力.题型一求最大值的实际应用问题课堂探究·素养提升[例1]某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?规范解答:设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得300,50020090000,0,0.xyxyxy……………………………4分目标函数为z=3000x+2000y.…………………5分二元一次不等式组等价于300,52900,0,0.xyxyxy作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分.………………………………………8分作直线l:3000x+2000y=0,即3x+2y=0.平移直线l,由图可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.联立300,52900,xyxy解得x=100,y=200.所以点M的坐标为(100,200).…………………………10分所以zmax=3000×100+2000×200=700000(元).11分因此,该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.……………………………12分规律总结利用线性规划解决实际问题的步骤(1)设出未知数(当数据较多时,可以列表格来分析数据);(2)列出约束条件,确立目标函数;(3)作出可行域;(4)利用图解法求出最优解;(5)得出结论.即时训练1-1:某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,求该企业在一个生产周期内可获得的最大利润.解:设生产甲产品x吨,生产乙产品y吨,则有关系A原料B原料甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y则0,0,313,2318,xyxyxy＞＞目标函数为z=5x+3y,作出可行域如图所示,把z=5x+3y变形为y=-53x+3z得到斜率为-53,在y轴上的截距为3z,随z变化的一组平行直线,由图可以看出,当直线y=-53x+3z经过可行域上的A点时,截距3z最大,即z最大.解方程组313,2318xyxy得A的坐标为(3,4),所以zmax=5×3+3×4=27.故可获得最大利润为27万元.[备用例1](1)某公司计划同时出售电子琴和洗衣机,由于两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大,已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于两种产品的有关数据如下表:电子琴(架)洗衣机(台)月供应量成本(百元)3020300劳动力510110单位利润(百元)68试问:怎样确定两种货的供应量,才能使总利润最大,最大利润是多少?解:(1)设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台,总利润为z百元,则根据题意,有0,0,3020300,510110,,N.xyxyxyxy且z=6x+8y,作出不等式组表示的平面区域,如图中所示的阴影部分.令z=0,作直线l0:6x+8y=0,即3x+4y=0.当移动直线l0平移至过图中的A点时,z=6x+8y取得最大值,解方程组3020300,510110,xyxy得A(4,9),代入z=6x+8y得zmax=6×4+8×9=96.所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时,公司可获得最大利润,最大利润是96百元.(2)(2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.①用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;解:(2)①由已知,x,y满足的数学关系式为45200,85360,310300,0,0.xyxyxyxy该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分.②问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.解:②设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-23x+3z,它的图象是斜率为-23,随z变化的一族平行直线,3z为直线在y轴上的截距,当3z取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距3z最大,即z最大.解方程组45200,310300,xyxy得点M的坐标为(20,24),所以zmax=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.题型二求最小值的实际应用问题[例2](2019·山东菏泽检测)某公司的仓库A存有货物12t,仓库B存有货物8t.现按7t,8t和5t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店,从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为8元、6元、9元;从仓库B运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元、4元、5元.应如何安排调运方案,才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少?解:设仓库A运给甲、乙商店的货物分别是xt,yt,则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y)t,仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)t,(8-y)t,[5-(12-x-y)]t,总运费为z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)=x-2y+126,约束条件为120,70,80,70,0,0,xyxyxyxy即07,08,7,12.xyxyxy可行域如图所示.作直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,当直线l移至点A(0,8)时,z=x-2y+126取得最小值,zmin=0-2×8+126=110,即x=0,y=8时,总运费最少.即仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0t,8t,4t,仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7t,0t,1t,此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.方法技巧解答线性规划应用题应注意以下几点:(1)在线性规划问题的应用中,常常是题中的条件较多,因此认真审题非常重要;(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断;(3)结合实际问题,分析未知数x,y等是否有限制,如x,y为正整数、非负数等;(4)分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般是不等式,而线性目标函数却是一个等式.即时训练2-1:某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个,现有两种规格的原料,甲种规格每张3m2,可做文字标牌1个,绘画标牌2个;乙种规格每张2m2,可做文字标牌2个,绘画标牌1个,求两种规格的原料各用多少张,才能使得总用料面积最小.解:设需要甲种原料x张,乙种原料y张,则可做文字标牌(x+2y)个,绘画标牌(2x+y)个,由题意可得25,24,0,0,,N,xyxyxyxy所用原料的总面积为z=3x+2y,作出可行域如图.在一组平行直线3x+2y=z中,经过可行域内的点且到原点距离最近的直线.此直线过直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点(2,1).所以最优解为x=2,y=1,所以使用甲种规格原料2张,乙种规格原料1张,可使总的用料面积最小.题型三实际问题中的整数解问题[例3](2019·河南郑州检测)某人有一幢房子,室内面积共180m2,拟分隔成两类房间作为游客住房.大房间每间面积为18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房间每间面积为15m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每间需1000元,装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,才能获得最大收益?解:设他应隔出大房间x间,小房间y间,获得收益为z元,则由题意可知1815180,10006008000,0,0,,N.xyxyxyxy目标函数z=200x+150y.约束条件化简为6560,5340,0,0,,N,xyxyxyxy可行域如图阴影部分所示.根据目标函数作一组平行直线4x+3y=t,这些直线中经过点B(207,607)的直线在y轴上的截距最大.此时z=200x+150y取最大值,但此时x,y均不为整数,故不是最优解,因此要进行调整.将直线4x+3y=2607向左下方平移至4x+3y=37,则y=3743x,将其代入约束条件,得3746560,33745340,3xxxx可得52≤x≤3.因为x为整数,所以x=3,此时y为非整数,故在直线4x+3y=37上无最优整数解.将直线再向左下方平移一个单位,得直线4x+3y=36.则y=3643x,将其代入约束条件,得3646560,33645340,3xxxx可得0≤x≤4.因为x为整数,所以x=0,1,2,3,4,代入求得它们对应的y=12,323,283,8,203.故可得最优解为(0,12)和(3,8),此时zmax=1800.即他应隔出小房间12间或隔出大房间3间,小房间8间,才能获得最大收益.方法技巧对于线性规划中最优整数解的问题,当解方程组得到的解不是整数解时,可用下面的方法求解:(1)平移直线法:先在可行域内打网格,再描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解.(2)检验优值法:当可行域内整点个数较少时,也可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经比较得出最优解.(3)调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程知识调整最优值,最后筛选出最优解.即时训练3-1:某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少运送180吨支援物资的任务,该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数是A型卡车为4次,B型卡车为3次.每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车为320元,B型卡车为504元,请你为该公司调配车辆,使公司所花成本费最低.解:设每天从该公司调出A型卡车x辆,B型卡车y辆,公司每天所花成本为z元,则z=320x+504y,其中x,y满足约束条件08,04,10,2430180,,N.xyxyxyxy即08,04,10,4530,,N.xyxyxyxy作可行域如图(阴影内的整点)所示.作直线l′:320x+504y=0.作一组与l′平行的直线l:320x+504y=t(t∈R),由题设x,y是可行域内的整点的横、纵坐标.在可行域内的整点中,点(8,0)使t取最小值,即当l过点(8,0)时,t最小,即zmin=8×320=2560.答:每天从公司调A型卡车8辆就能完成任务,且公司所花成本费最低.[备用例2](20