2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 一元二次不

3.2一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的解法的应用目标定位重点难点1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．3．掌握含参数一元二次不等式有解的讨论方法.重点：会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．难点：含参一元二次不等式的应用.1．分式不等式解法：等价转化法解分式不等式fxgx0⇔f(x)g(x)0.fxgx≥0⇔fxgx≥0，gx≠0⇔f(x)g(x)0或fx＝0，gx≠0.2．含参数一元二次不等式有解的讨论方法(1)当二次项系数不确定时，要分二次项系数______、________、________三种情况进行讨论．(2)判别式不确定时，要分判别式大于零、等于零、小于零三种情况进行讨论．(3)判别式大于零时，只需讨论两根大小．等于零大于零小于零【答案】B1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝xx－2x≤0，则A∩B＝()A．{x|－1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}2．函数f(x)＝1－xx＋2的定义域为()A．[－2,1]B．(－2,1]C．[－2,1)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)【答案】B4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的取值范围为________．【答案】(－1,0)【解析】已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意x∈R恒成立，∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0，解得－1＜a＜0.3．不等式x＋1x≤3的解集为________．【答案】x|x＜0或x≥12【解题探究】将分式不等式转化为整式不等式求解．分式不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)x＋21－x＜0；(2)x＋1x－2≤2.【解析】(1)由x＋21－x＜0，得x＋2x－1＞0，此不等式等价于(x＋2)(x－1)＞0，∴原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．(2)移项得x＋1x－2－2≤0，左边通分并化简有－x＋5x－2≤0，即x－5x－2≥0，它的同解不等式为x－2x－5≥0，x－2≠0，∴x＜2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．【方法规律】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．解下列不等式：(1)x＋23－x≥0；(2)2x－13－4x＞1.【解析】(1)原不等式等价于x＋23－x≥0，3－x≠0，即x＋2x－3≤0，x≠3⇒－2≤x＜3.∴原不等式的解集为{x|－2≤x＜3}．(2)原不等式可化为2x－13－4x－1＞0，即6x－44x－3＜0.等价于(6x－4)(4x－3)＜0.∴23＜x＜34.∴原不等式的解集为x23＜x＜34.【例2】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．【解题探究】由于a的取值不同会导致不等式的解集变化，故应依据参数a的取值进行分类讨论．【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，则(ax－2)(x＋1)≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.含参数一元二次不等式的解法②当a0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0，解得x≥2a或x≤－1.③当a0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0.当2a－1，即a－2时，解得－1≤x≤2a；当2a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1，满足题意；当2a－1，即－2a0，解得2a≤x≤－1.【方法规律】解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次：第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层次是根的大小的讨论．解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0.【解析】方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a.①若a＞0，则－a＜x＜2a，此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；②若a＜0，则2a＜x＜－a，此时不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}；③若a＝0，则原不等式即为x2＜0，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为当a＞0时，{x|－a＜x＜2a}；当a＜0时，{x|2a＜x＜－a}；当a＝0时，∅.【示例】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．一元二次不等式的实际应用【分析】本题的考点是根据实际问题建立函数模型，主要考查二次函数模型，关键是从实际问题中抽象出函数模型，考查学生的分析解决问题的能力．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得125a(50＋x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．【解析】(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝125a(50＋x)(10－x)(0＜x＜10)．【类题通法】用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．解答含参数的不等式时，一般需对参数进行讨论，常见的有以下几种情况：(1)二次项系数含参数时，根据二次不等式化标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数符号进行讨论；(2)解“Δ”的过程中，若“Δ”表达式含有参数且参数的取值影响“Δ”符号，这时根据“Δ”符号确定的需要，要对参数进行讨论；(3)方程的两根表达式中如果有参数，必须对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论．总之，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ”；③根．但未必在这三个地方都进行讨论，是否讨论要根据需要而定．1．不等式x－12x＋1≤0的解集为()A．－12，1B．－12，1C．－∞，－12∪[1，＋∞)D．－∞，－12∪[1，＋∞)【答案】A【解析】不等式x－12x＋1≤0⇔x－12x＋1≤0，2x＋1≠0⇔－12＜x≤1，∴不等式的解集为－12，1.2．若0＜t＜1，则不等式x2－t＋1tx＋1＜0的解集是()A．x|1t＜x＜tB．x|x＞1t或x＜tC．x|x＜1t或x＞tD．x|t＜x＜1t【答案】D【解析】化为(x－t)x－1t＜0，∵0＜t＜1，∴1t＞1＞t，∴t＜x＜1t.3．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是()A．{x|x＞5a或x＜－a}B．{x|x＞－a或x＜5a}C．{x|5a＜x＜－a}D．{x|－a＜x＜5a}【答案】B【解析】化为(x＋a)(x－5a)＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a，∵a＜0，∴x1＞x2.∴x＜5a或x＞－a.4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为________．【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)【解析】∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0；当x0时，－x0，f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x.∴f(x)＝x2－4x，x0，0，x＝0，－x2－4x，x0.由f(x)x可得x2－4xx，x0或－x2－4xx，x0，解得x5或－5x0，∴原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．