2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式 第二课时 一元二次不等式的解

第二课时一元二次不等式的解法及其应用(习题课)解含参数的一元二次不等式[典例]已知a＞0，解关于x的不等式(x－2)(ax－2)0.[解]当a0时，原不等式可化为(x－2)x－2a0.(1)当0a1时，两根的大小顺序为22a，原不等式的解集为xx2a或x2；(2)当a＝1时，2＝2a，原不等式解集为{x|x≠2}；(3)当a1时，两根的大小顺序为22a，原不等式的解集为xx2a或x2.综上所述，当0a1时，原不等式解集为xx2a或x2；当a＝1时，原不等式解集为{x|x≠2}；当a1时，原不等式解集为xx2a或x2.解含参数的不等式时，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式再对参数进行讨论；若不易分解因式则可对判别式分类讨论；若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数为零的情形，然后考虑二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应的方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．另外，注意参数的取值范围，并在此范围内进行分类讨论．[活学活用]解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a≥0)．解：原不等式可变形为ax2＋(a－2)x－2≥0，(1)当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；(2)当a＞0时，原不等式可变形为(ax－2)(x＋1)≥0，方程(ax－2)(x＋1)＝0的解为x1＝2a，x2＝－1.所以不等式的解集为xx≥2a或x≤－1.综上，a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；a0时，原不等式的解集为xx≥2a或x≤－1.一元二次不等式的实际应用[典例]某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？[解](1)依题意，得y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]×1000(1＋0.6x)＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)，所以本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式为y＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)．(2)依题意，得1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＞(1.2－1)×1000，化简，得3x2－x＜0，解得0＜x＜13.所以为使本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的范围是0，13.[活学活用]某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制订这批台灯的销售价格？解：设这批台灯的销售价定为x元，则[30－(x－15)×2]·x400，即x2－30x＋2000，因方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，所以x2－30x＋2000的解为10x20，又因为x≥15，所以15≤x20.故应将这批台灯的销售价格制订在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.不等式的恒成立问题[典例]对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总为非负，则m的取值范围为________．[解析]由题意知Δ＝(m－4)2－4(4－2m)≤0，得m＝0.[答案]{0}解不等式应用题的4个步骤(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；(3)求解不等式；(4)还原实际问题．[一题多变]1．[变条件]对任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求m的取值范围．解：①当m＝0时，f(x)的值不恒大于零，舍去；②当m≠0时，m0，m－42－4m4－2m0，此不等式组无解，故m∈∅.综上知，不存在这样的实数m，使函数f(x)的值恒大于零．2．[变条件]对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求m的取值范围．解：由题意知(x－2)m＋x2－4x＋40，(x－2)m－x2＋4x－4，因为x∈[－1,1]，所以x－20，所以m－x2＋4x－4x－2＝－(x－2)，所以m1.即m的取值范围为(－∞，1)．3．[变条件、变设问]对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，所以g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋40，g1＝x－2×1＋x2－4x＋40，解得x1或x3.故当x1或x3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．解决不等式恒成立问题的2种思路(1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围；(2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围．