2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时 不等式的性质课件

3.1不等关系与不等式第2课时不等式的性质第三章不等式课前自主预习不等式的性质性质1：ab⇔ba.性质2：ab，bc⇒ac.性质3：ab⇔a＋cb＋c.性质4：(1)ab，c0⇒acbc；□01□02□03□04(2)ab，c0⇒acbc.性质5：ab，cd⇒a＋cb＋d.性质6：ab0，cd0⇒acbd.性质7：ab0⇒anbn(n∈N，n≥2)．性质8：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)．□05□06□07□08□09【知识拓展】不等式的命题的判断与求范围应注意的问题1．利用不等式判断正误的2种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取值要有代表性．2．利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若ab，b≥0，则a0.()(2)由123可得12a3a.()(3)若m＋ne＋f且me，则nf.()(4)若a－5，则a225.()√××√2．做一做(1)若b0，a＋b0，则a－b________0(填“”或“”)．(2)若ab0，则a2________ab(填“”或“”)．(3)若ab0,0cd，则ac与bd的大小关系是________．(4)已知12a60,15b36，则ab的取值范围为________．acbd13，4课堂互动探究探究1利用不等式的性质判断真假例1对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是()A．若ab，则ac2bc2B．若ab0，则1a1bC．若ab0，则baabD．若ab，1a1b，则a0，b0解析解法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由ab0，有ab0⇒aabbab⇒1b1a，故B为假命题；ab0⇒－a－b0⇒－1b－1a0ab0⇒－a－b0⇒abba，故C为假命题；ab⇒b－a01a1b⇒1a－1b0⇒b－aab0⇒ab0.∵ab，∴a0且b0，故D为真命题．解法二：(特殊值排除法)取c＝0，则ac2＝bc2，故A错误．取a＝2，b＝1，则1a＝12，1b＝1，有1a1b，故B错误．取a＝－2，b＝－1，则ba＝12，ab＝2，有baab，故C错误．拓展提升利用不等式的性质判断真假的方法运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式的选择题时，可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．不等式的性质常与比较大小问题结合起来考查，此类题目一般可以结合不等式的性质，利用作差法求解．【跟踪训练1】下列命题：①若ab，则ac2bc2；②若ac2bc2，则ab；③若ab，cd，则a－cb－d；④若ab，cd，则acbd；⑤若ab，则1a1b.其中正确命题是________．②③解析当c＝0时，①是假命题．若ac2bc2，则c20，∴ab成立，故②正确．③先利用不等式的性质变为同向不等式，再相加，可得结果，故为真命题．ab，cd可取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可得ac＝－2，bd＝－2，故④错误．ab，可取a＝1，b＝－1，可得1a1b，故⑤错误．探究2利用不等式的性质证明不等式例2(1)已知ab，ef，c0.求证：f－ace－bc；(2)若bc－ad≥0，bd0.求证：a＋bb≤c＋dd.证明(1)∵ab，c0，∴acbc，∴－ac－bc.∵fe，∴f－ace－bc.(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，又∵bd0，∴ab≤cd，∴ab＋1≤cd＋1，∴a＋bb≤c＋dd.拓展提升利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【跟踪训练2】已知ab0，cd0.求证：3ad3bc.证明∵cd0，∴－c－d0.∴0－1c－1d.又∵ab0，∴－ad－bc0.∴3－ad3－bc，即－3ad－3bc.两边同乘以－1，得3ad3bc.探究3利用不等式的性质求取值范围例3(1)已知2a≤5,3≤b10，求a－b，ab的取值范围；(2)已知－π2≤αβ≤π2，求α＋β2，α－β3的取值范围；(3)已知x，y为正数，且1≤lg(xy)≤2,3≤lgxy≤4，求lg(x4y2)的取值范围．解(1)∵3≤b10，∴－10－b≤－3.又∵2a≤5，∴－8a－b≤2.又∵110＜1b≤13，∴15ab≤53.(2)∵－π2≤αβ≤π2，∴－π4≤α2π4，－π4β2≤π4.两式相加得－π2α＋β2π2.∵－π6≤α3π6，－π6≤－β3π6，两式相加得－π3≤α－β3π3.又∵αβ，∴α－β30，∴－π3≤α－β30.(3)由题意设a＝lgx，b＝lgy，∴lg(xy)＝a＋b，lgxy＝lgx－lgy＝a－b，lg(x4y2)＝4a＋2b，设4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，∴m＋n＝4，m－n＝2，解得m＝3，n＝1.∴4a＋2b＝3(a＋b)＋(a－b)，又∵3≤3(a＋b)≤6,3≤a－b≤4，∴6≤4a＋2b≤10，∴lg(x4y2)的取值范围为[6,10]．[变式探究]本例(1)中，条件不变，求a＋b，ab的取值范围又如何？解由2a≤5,3≤b＜10得2＋3a＋b5＋10,2×3ab5×10，即5a＋b15,6ab50.拓展提升利用不等式的性质求代数式的取值范围要注意的问题(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由ab及cd，推不出acbd；由ab，推不出a2b2等．(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．【跟踪训练3】若二次函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，求f(3)的范围．解设f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(1)＝a＋c，f(2)＝4a＋c.又∵f(3)＝9a＋c，故设λ1f(1)＋λ2f(2)＝f(3)，则有λ1＋4λ2＝9，λ1＋λ2＝1，解得λ1＝－53，λ2＝83.∴f(3)＝8f2－5f13.∵1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，∴5≤5f(1)≤10,24≤8f(2)≤32.∴14≤8f(2)－5f(1)≤27.∴143≤8f2－5f13≤9，即143≤f(3)≤9.[规律小结]1.在应用不等式的性质时应注意的问题使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．例如：(1)ab，cd⇒a＋cb＋d，已知的两个不等式必须是同向不等式．(2)ab0且cd0⇒acbd，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式两边必须为正值．(3)ab0⇒anbn(n∈N，n≥2)，及ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)成立的条件是已知不等式两边为正值，并且n∈N，n1，否则结论就不成立．假设去掉b0这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，就会出现32(－4)2的错误结论；又若去掉了“n∈N且n≥2”这个条件，取a＝3，b＝2，n＝－1，又会出现3－12－1，即1312的错误结论．(4)不等式的性质有的可以互推，如ab⇔ba；ab⇔a＋cb＋c，有的不可互推．(5)性质7和性质8在n取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有：ab⇒anbn(n＝2k＋1，k∈N)．ab⇒nanb(n＝2k＋1，k∈N)．2.性质8的证明性质8的证明可采用反证法，即假设na不大于nb，则有两种情况：或者nanb，或者na＝nb.由性质7，当nanb时，ab，当na＝nb时，有a＝b，这些都与已知条件ab0矛盾，所以nanb.[走出误区]易错点⊳运用不等式的性质不当致错[典例]已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．[错解档案]∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，∴0≤a≤4.又∵1≤a＋b≤5，－3≤－(a－b)≤1，∴－1≤b≤3.∵0≤a≤4，－1≤b≤3，∴0≤3a≤12，－6≤－2b≤2，∴－6≤3a－2b≤14.[误区警示]在错解中，由已知条件推出不等式－6≤3a－2b≤14的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但结论是不正确的，事实上，由1≤a＋b≤5与－1≤a－b≤3，得到0≤a≤4，－1≤b≤3，但这并不意味着a与b可各自独立地取得区间[0,4]与[－1,3]的一切值．如取a＝4，b＝3时，a＋b＝7，就已超出题设条件1≤a＋b≤5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等价关系.[规范解答]设x＝a＋b，y＝a－b，则a＝x＋y2，b＝x－y2.∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝12x＋52y.又∵12≤12x≤52，－52≤52y≤152，∴－2≤12x＋52y≤10，即－2≤3a－2b≤10.[名师点津]要求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性，同向正值不等式具有可乘性，但是不能相减或相除，利用性质时，必须步步有据，避免改变代数式的取值范围.随堂达标自测1．设a，b，c，d∈R，则()A．ab，c＝d⇒acbdB.acbc⇒abC．a3b3，ab0⇒1a1bD．a2b2，ab0⇒1a1b解析用排除法，A错误，显然c＝d＝0时，结论不成立．B错误，c0时，结论不成立．D错误，当a＝－2，b＝－1时，结论不成立．故选C.2．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A．若ab，cb，则acB．若a－b，则c－ac＋bC．若ab，cd，则acbdD．若a2b2，则－a－b解析选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如ab0，c0d时，不成立；选项D，当a＝－1，b＝0时不等式不成立，故选B.3．若－1αβ1，则下列各式中恒成立的是()A．－2α－β0B．－2α－β－1C．－1α－β0D．－1α－β1解析由－1α1，－1β1，得－1－β1，所以－2α－β2，但αβ，故知－2α－β0.4．若xy，ab，则在①a－xb－y，②a＋xb＋y，③axby，④x－by－a，这四个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．②④解析令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件xy，ab，∵a－x＝b－y＝5，∴a－xb－y不成立．又∵ax＝by＝－6，∴axby也不正确．xy，ab，∴a＋xb＋y成立．∵ab，∴－b－a，又xy，∴x－by－a.综上知②④成立．5．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3.求a＋3b的取值范围．解设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，则λ1＋λ2＝1，λ1－2λ2＝3，解得λ1＝53，λ2＝－23.又因为－53≤53(a＋b)≤53，－2≤－23(