2019-2020学年高中数学 第三章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修1

一、导数的概念1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率ΔyΔx＝_________________＝_________________趋于一个________，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率，也称为y＝f(x)在x0点的导数．2．记法：函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝_________________＝________________________.fx1－fx0x1－x0fx0＋Δx－fx0Δx固定的值limx1→x0fx1－fx0x1－x0limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx平均变化率导数表达式ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δxf′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx几何意义曲线y＝f(x)上过两点(x0，f(x0))和(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的割线的_____曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的________图示斜率斜率2.切线的定义如表中图，当Δx趋于零时，点B将___________________________，割线AB______________，最后趋于直线l，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．沿着曲线y＝f(x)趋向于点A将绕点A转动[疑难提示]利用导数的几何意义求过某点的切线方程的步骤(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，就是切线与y轴平行或是y轴；若f′(x0)0，切线与x轴正方向夹角是锐角；若f′(x0)0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行或是x轴．(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．[想一想]1．函数f(x)在x0处的导数f′(x0)与Δx有关吗？提示：导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关．[练一练]2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是()A．在点x0处的斜率B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率答案：C3．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量之比B．一个函数C．一个常数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案：C4．已知二次函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,2)，则f′(1)的值为()A．1B．0C．－1D．2解析：∵二次函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,2)，∴过点(1,2)的切线平行于x轴，即切线的斜率为0，∴f′(1)＝0，选B.答案：B探究一导数概念的理解[典例](1)求函数y＝x在x＝1处的导数；(2)设f′(a)＝3，求limΔx→0fa＋3Δx－fa－Δx2Δx的值．[解析](1)∵f(x)＝x，∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝1＋Δx－1，∴ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝1＋Δx2－12Δx1＋Δx＋1＝ΔxΔx1＋Δx＋1＝11＋Δx＋1.当Δx→0时，ΔyΔx→12，∴f′(1)＝12.(2)∵limΔx→0fa＋Δx－faΔx＝3，∴limΔx→0fa＋3Δx－fa－Δx2Δx＝limΔx→0fa＋3Δx－fa＋fa－fa－Δx2Δx＝32limΔx→0fa＋3Δx－fa3Δx＋12limΔx→0fa－Δx－fa－Δx＝32f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)＝6.1．解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N＋)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．2．利用导数定义求函数y＝f(x)在某点处的导数的步骤：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)当Δx趋于0时，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.1．一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．解析：因为ΔyΔt＝f2＋Δt－f2Δt＝32＋Δt－3×2Δt＝3，所以f′(2)＝limΔx→0ΔyΔt＝3.f′(2)＝3的意义是：水流在2s时的瞬时流量为3m3/s，即如果保持这一速度，每经过1s，水管中流过的水量为3m3.2．利用导数的定义求函数y＝1x2＋2在点x＝1处的导数．解析：Δy＝[11＋Δx2＋2]－(11＋2)＝11＋Δx2－1＝－2Δx－Δx21＋Δx2ΔyΔx＝－2－Δx1＋Δx2，当Δx→0时，ΔyΔx＝－2，∴函数y＝1x2＋2在x＝1时的导数为－2.探究二导数几何意义的应用导数几何意义的应用——求切线方程—求切点坐标—求参数—综合应用3．(1)求曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程；(2)求过点A(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．解析：(1)∵点(－2，－1)在曲线y＝2x上，∴曲线y＝2x在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y＝2x在点(－2，－1)处的导数．∴k＝f′(－2)＝limΔx→0f－2＋Δx－f－2Δx＝limΔx→02－2＋Δx－2－2Δx＝limΔx→01－2＋Δx＝－12，∴曲线y＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.(2)∵当x＝3时，f(3)＝32＝9，∴点(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为A(x0，y0)，即A(x0，x20)，则过点A的切线斜率k＝f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0x0＋Δx2－x20Δx＝limΔx→0(2x0＋Δx)＝2x0，∴过点A的切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)，即2x0x－y－x20＝0，又∵点(3,5)在切线上，∴6x0－5－x20＝0，即x20－6x0＋5＝0，∴x0＝1或5，∴切点为(1,1)或(5,25)，∴切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.4．在曲线y＝4x2上求一点P，使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件：(1)平行于直线y＝x＋1；(2)垂直于直线2x－16y＋1＝0；(3)倾斜角为135°.解析：设P点坐标为(x0，y0)，则Δy＝4x0＋Δx2－4x20＝4x20－4x0＋Δx2x20x0＋Δx2＝－8x0Δx－4Δx2x20x0＋Δx2，∴ΔyΔx＝－8x0－4Δxx20x0＋Δx2，∴当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于－8x30，即f′(x0)＝－8x30.(1)因为切线与直线y＝x＋1平行．∴由导数几何意义知f′(x0)＝1，即－8x30＝1，∴x0＝－2，y0＝1.即P(－2,1)．(2)∵切线与直线2x－16y＋1＝0垂直，∴有f′(x0)·(－2－16)＝－1，∴－8x30·18＝－1，∴x0＝1，y0＝4，即P(1,4)．(3)∵切线倾斜角为135°，∴f′(x0)＝tan135°＝－1，∴－8x30＝－1，∴x0＝2，y0＝1，即P(2,1)．5．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积．解析：(1)y′＝limΔx→0x＋Δx2＋x＋Δx－2－x2－x＋2Δx＝limΔx→02xΔx＋Δx2＋ΔxΔx＝limΔx→0(2x＋Δx＋1)＝2x＋1.∴y′|x＝1＝2×1＋1＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－13，解得b＝－23.∴直线l2的方程为y＝－13x－229.(2)解方程组y＝3x－3y＝－13x－229，得x＝16y＝－52.∴直线l1和l2的交点坐标为16，－52.l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，－223，0，∴所求三角形的面积S＝12×1＋223×－52＝12512.6.如图表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图像，试根据图像，描述、比较曲线f(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．解析：(1)当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴．所以在t＝t0附近曲线比较平坦．几乎没有升降．(2)当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减．(3)当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近也单调递减．由图像可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．因对导数的概念理解不透彻致误[典例]已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝________.[解析]limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝limΔx→0[fx0＋2Δx－fx02Δx×2]＝2limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx＝2f′(x0)＝2×4＝8.[答案]8[错因与防范]本例易因对导数概念不理解，乱套用定义致错．注意本题分子中x的增量是2Δx，即(x0＋2Δx)－x0＝2Δx，解决此类问题关键是变形分母中x的增量，使与分子中的增量一致(包括符号)，归结为climΔx→0fx0＋kΔx－fx0kΔx(c，k为常数且kc≠0)的形式．