2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 3 双曲线 3.1 双曲线及其标准方程课件

一、双曲线的定义平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作________；这两个定点叫作双曲线的________，两个焦点之间的距离叫作双曲线的________．二、双曲线的标准方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)焦点坐标(±c,0)(0，±c)a、b、c关系c2＝________双曲线焦点焦距a2＋b2[疑难提示]双曲线定义的理解(1)定义中的前提条件为“平面内”，这一限制条件十分重要，不能丢掉，否则就成了空间曲线，不是平面曲线了．(2)双曲线的定义中要注意两点：①距离之差的绝对值；②2a|F1F2|.这两点与椭圆的定义有本质的不同，若|PF1|－|PF2|＝2a|F1F2|，点P的轨迹仅为双曲线焦点F2这一侧的一支，若|PF2|－|PF1|＝2a|F1F2|，点P的轨迹仅为双曲线焦点F1这一侧的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中应为“差的绝对值”．[想一想]1．双曲线中的a，b，c的关系与椭圆中的关系一样吗？提示：不一样，双曲线中为c2＝a2＋b2，椭圆中为c2＝a2－b2.[练一练]2．动点P到点M(1,0)及点N(5,0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是()A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线解析：由题意，知|MN|＝4，当a＝1时，|PM|－|PN|＝2a＝24，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝2时，|PM|－|PN|＝2a＝4＝|MN|，点P的轨迹为以N为端点沿x轴向右的一条射线．答案：C3．已知双曲线的焦距为26，a2c＝2513，则双曲线的标准方程是________．解析：由2c＝26，∴c＝13.又a2c＝2513，∴a2＝25.∴b2＝c2－a2＝132－25＝144.∴所求方程为x225－y2144＝1或y225－x2144＝1.答案：x225－y2144＝1或y225－x2144＝1探究一求双曲线的标准方程[典例1]根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P(3，154)，Q(－163，5)；(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．[解析](1)解法一若焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由于点P(3，154)和Q(－163，5)在双曲线上，所以9a2－22516b2＝1，2569a2－25b2＝1，解得a2＝－16，b2＝－9.(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，将P、Q两点坐标代入可得22516a2－9b2＝1，25a2－2569b2＝1.解之得a2＝9，b2＝16.所以双曲线的标准方程为y29－x216＝1.解法二设双曲线方程为x2m＋y2n＝1(mn＜0)．∵P、Q两点在双曲线上，∴9m＋22516n＝1，2569m＋25n＝1，解得m＝－16，n＝9.∴所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1.(2)解法一依题意可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．依题设有a2＋b2＝6，25a2－4b2＝1，解得a2＝5，b2＝1.∴所求双曲线的标准方程为x25－y2＝1.解法二∵焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x25－y2＝1.1．若已知a，b的值，直接将其代入双曲线方程即可；若已知a，c或b，c的值，利用a2＋b2＝c2求出b2或a2，再代入双曲线的方程．2．若已知a，b，c中的一个量及双曲线上一个点的坐标，则设出双曲线的标准方程，由a2＋b2＝c2得到a2，b2的一个关系式，再将点的坐标代入双曲线方程，得到a2，b2的第二个关系式，联立可解．上述两种情况中，若根据已知条件不能确定焦点所在的轴，需注意双曲线的方程可能有两种形式．3．若已知双曲线上两点的坐标，不确定焦点所在的轴，需分别设出双曲线的两种方程，将两点的坐标代入，分别求a2，b2的值．为避免烦琐，也可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，待定出A，B的值．1．已知双曲线过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．解析：解法一若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，∴1a2－1b2＝1，－22a2－52b2＝1，解得a2＝78，b2＝7.若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．同理有1a2－1b2＝1，52a2－－22b2＝1，解得a2＝－7，b2＝－78，(舍去)∴所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.解法二设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0)．将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得m＋n＝1，4m＋25n＝1，解得m＝87，n＝－17.∴所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝4，c＝5，焦点在x轴上；(2)a＝4，经过点A(1，4103)．解析：(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为a＝4，c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9.所以双曲线的标准方程为x216－y29＝1.(2)若所求的双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则将a＝4代入得x216－y2b2＝1.因为点A(1，4103)在此双曲线上，所以116－1609b2＝1，由此得b20，应舍去．若所求的双曲线标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，同理解得b2＝9.所以双曲线的标准方程为y216－x29＝1.探究二双曲线标准方程的应用[典例2]求适合下列条件的参数的值或范围．(1)已知x21－k－y2|k|－3＝－1，当k为何值时，①方程表示双曲线；②表示焦点在x轴上的双曲线；③表示焦点在y轴上的双曲线．(2)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值．(3)椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点．[解析](1)①若方程表示双曲线，则需满足1－k0|k|－30或1－k0，|k|－30.解得k－3或1k3；②若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则1k3；③若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k－3.(2)若焦点在x轴上，则方程可化为x2k2－y2k＝1，∴k2＋k＝32，即k＝6.若焦点在y轴上，则方程可化为y2－k－x2－k2＝1，∴－k＋(－k2)＝32，即k＝－6.综上，k的值为6或－6.(3)由双曲线方程可知焦点在x轴上，且c＝a＋2(a0)．由椭圆方程可知c＝4－a2，∴a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0.解得a＝1或a＝－2(舍去)．∴a的值为1.解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．3．(1)设θ∈3π4，π，则关于x，y的方程x2sinθ＋y2cosθ＝1所表示的曲线是()A．焦点在y轴上的双曲线B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的椭圆解析：由题意，知x2sinθ－y2－cosθ＝1，因为θ∈3π4，π，所以sinθ0，－cosθ0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B.答案：B(2)设双曲线x2－y28＝1的两个焦点分别为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于()A．103B．83C．85D．165答案：C4．已知曲线C：x2t2＋y2t2－1＝1(t≠0，t≠±1)．(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．解析：(1)当|t|1时，t20，t2－10，曲线C为椭圆；当|t|1且t≠0时，t20，t2－10，曲线C为双曲线．(2)证明：当|t|1时，曲线C是椭圆，且t2t2－1，因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1.∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．当|t|1且t≠0时，双曲线C的方程为x2t2－y21－t2＝1，∵c2＝a2＋b2＝t2＋(1－t2)＝1，∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．探究三双曲线的定义及应用双曲线定义的应用——根据定义求值—根据定义求角度—根据定义求方程—根据定义求面积5．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则|sinA－sinB|sinP＝()A.45B.74C.54D.7解析：在△ABP中，由正弦定理，得|sinA－sinB|sinP＝||PB|－|PA|||AB|＝2a2c＝ac＝45.答案：A6．若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．解析：由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，F1为左焦点，F2为右焦点，由双曲线的方程，知a＝3，b＝4.所以c＝5.由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6.上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64＝100，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0.所以∠F1PF2＝90°.7．已知△ABC外接圆的半径R＝1433，且∠ABC＝120°，BC＝10，边BC在x轴上，且y轴垂直平分边BC，求过点A且以B，C为焦点的双曲线的标准方程．解析：因为sin∠BAC＝BC2R＝5314，所以cos∠BAC＝1114，AC＝2Rsin∠ABC＝2×1433×32＝14，sin∠ACB＝sin(60°－∠BAC)＝sin60°cos∠BAC－cos60°·sin∠BAC＝32×1114－12×5314＝3314，所以AB＝2Rsin∠ACB＝2×1433×3314＝6，所以2a＝|AC－AB|＝14－6＝8，所以a＝4.又c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，所以双曲线的标准方程为x216－y29＝1.忽略双曲线定义中的限制条件致误[典例]方程x22－m＋y2|m|－3＝1表示双曲线，那么m的取值范围是________．[解析]依题意有2－m0，|m|－30或2－m0，|m|－30，解得－3m2或m3.所以m的取值范围是{m|－3m2或m3}．[答案]{m|－3m2或m3}[错因与防范](1)本例易误认为焦点在x轴上而忽略焦点在y轴上的情况；(2)对于x2m＋y2n＝1，当m，n0且m≠n时表示椭圆，当mn0时，表示双曲线．