2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的简单几何

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA→·OB→的值是()A.34B．－34C．3D．－3答案B答案3解析抛物线y2＝2x的焦点为12，0，当直线AB斜率不存在时，可得A12，1，B12，－1，故OA→·OB→＝12，1·12，－1＝14－1＝－34.故选B.解析42．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48答案C解析设抛物线方程为y2＝2px(p0)，|AB|即通径为2p＝12，∴p＝6，点P到AB的距离为p＝6，∴S△ABP＝12×12×6＝36.故选C.答案解析53．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为()A．4B．－4C．p2D．－p2答案B解析kOA·kOB＝y1x1·y2x2＝y1y2x1x2，根据焦点弦的性质，得x1x2＝p24，y1y2＝－p2，故kOA·kOB＝－p2p24＝－4.答案解析64．直线y＝x＋b交抛物线y＝12x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为()A．－1B．0C．1D．2答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝12x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不满足OA⊥OB，故b＝2.答案解析75．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|等于()A．9B．6C．4D．3答案B解析设A，B，C三点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)．由题意知F(1,0)，因为FA→＋FB→＋FC→＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线的定义，有|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B.答案解析86．已知直线y＝k(x＋2)(k0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于()A.13B.23C.23D.223答案D答案9解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20，由y＝kx＋2，y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，①∵|FA|＝x1＋p2＝x1＋2，|FB|＝x2＋p2＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，∴B(1,22)，代入y＝k(x＋2)，得k＝223.故选D.解析10二、填空题7．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．答案322答案11解析可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，则由y＝x＋m，y2＝4x，消去x得y2－4y＋4m＝0.∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝|4－1|2＝322，则所求的最小距离为322.解析128．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为________．答案y2＝12x或y2＝－4x答案13解析设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，①直线变形为y＝2x＋1，②设抛物线截直线所得弦长为AB.联立y2＝ax，y＝2x＋1，消去y得(2x＋1)2＝ax，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，|AB|＝1＋22a－442－4×14＝15，解得a＝12或a＝－4.∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.解析149．过点P(2,2)作抛物线y2＝3x的弦AB，恰被P所平分，则弦AB所在的直线方程为________．答案3x－4y＋2＝0答案15解析解法一：设以P为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝3x1，①y22＝3x2，②y1＋y2＝4.③①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝3(x1－x2)．④将③代入④，得y1－y2＝34(x1－x2)，即34＝y1－y2x1－x2，∴k＝34.∴所求弦AB所在直线方程为y－2＝34(x－2)，即3x－4y＋2＝0.解析16解法二：设弦AB所在直线方程为y＝k(x－2)＋2.由y2＝3x，y＝kx－2＋2，消去x，得ky2－3y－6k＋6＝0，此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系，得y1＋y2＝3k，又∵y1＋y2＝4，∴k＝34.∴所求弦AB所在直线方程为3x－4y＋2＝0.解析17三、解答题10．已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，|PF|＝3.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．18解(1)由抛物线的定义可知，|PF|＝2＋p2＝3，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由y2＝4x，得F(1,0)，∴过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝33(x－1)．与y2＝4x联立，消去x，得y2－43y－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝43，y1y2＝－4.∴S△OAB＝S△OAF＋S△OFB＝12|y1－y2|＝12×48＋16＝4.答案19B级：能力提升练1．已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝1，F是焦点，过点A(－2,0)的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N.(1)求抛物线的方程及y1y2的值；(2)若直线PQ，MN的斜率都存在，记直线PQ，MN的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值．20解(1)依题意，设抛物线方程为y2＝－2px(p0)，由准线x＝p2＝1，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝－4x.由题意，设直线PQ的方程为x＝my－2，代入y2＝－4x，消去x，整理得y2＋4my－8＝0，从而y1y2＝－8.答案21(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则k1k2＝y1－y2x1－x2·x3－x4y3－y4＝y1－y2y21－4－y22－4·y23－4－y24－4y3－y4＝y3＋y4y1＋y2.设直线PM的方程为x＝ny－1，代入y2＝－4x，消去x，整理得y2＋4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4.故k1k2＝y3＋y4y1＋y2＝－4y1＋－4y2y1＋y2＝－4y1y2＝－4－8＝12，为定值．答案222．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.23解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝12x＋1或y＝－12x－1.答案24(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由y＝kx－2，y2＝2x，得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝2k，y1y2＝－4.答案25直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝y1x1＋2＋y2x2＋2＝x2y1＋x1y2＋2y1＋y2x1＋2x2＋2.①将x1＝y1k＋2，x2＝y2k＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4ky1＋y2k＝－8＋8k＝0.所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.答案本课结束