2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教

第二章圆锥曲线与方程2．3.2抛物线的简单几何性质第二章圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养抛物线的几何性质了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质，会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题数学抽象、数学运算直线与抛物线的位置关系会判断直线与抛物线的位置关系，会求解直线与抛物线的综合问题逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P60～P63，并思考下列问题：1．抛物线有哪些几何性质？2．若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形范围________________________________________焦点________________________________x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈Rp2，0－p2，00，p20，－p2准线方程____________________________对称轴____________顶点______离心率e＝__x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2x轴y轴(0，0)1■名师点拨(1)通过上述表格可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为O(0，0)，离心率均为1，它们都是轴对称图形，关于焦点所在的坐标轴对称．(2)抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异①抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率取值范围是0e1，双曲线的离心率取值范围是e1，抛物线的离心率是e＝1；⑤椭圆和双曲线都有2条准线，而抛物线只有1条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称．()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．()(4)抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．()×√√√四种标准方程对应的抛物线有相同的()A．顶点B．焦点C．准线D．对称轴解析：选A．四种标准方程对应的抛物线有相同的顶点，都是坐标原点；但是，焦点、准线都不相同；抛物线y2＝2px(p0)与y2＝－2px(p0)的对称轴为x轴，抛物线x2＝2py(p0)与x2＝－2py(p0)的对称轴为y轴．抛物线y＝2px2(p0)的对称轴为________．答案：y轴顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是________．答案：x2＝±12y抛物线几何性质的应用已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解】由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，焦点Fm2，0，直线l：x＝m2，所以A，B两点坐标为m2，m，m2，－m，所以|AB|＝2|m|，因为△OAB的面积为4，所以12·m2·2|m|＝4，所以m＝±22，所以抛物线的标准方程为y2＝±42x.把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.1．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2解析：选B．由抛物线的对称性质及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x，由y＝x，y2＝2px，得A(2p，2p)，则B(2p，－2p)，所以|AB|＝4p，所以S△ABO＝12·4p·2p＝4p2，选择B．2．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，－22)，则它的标准方程为________．解析：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，－22)，所以可设它的标准方程为y2＝2px(p＞0)．因为点M在抛物线上，所以(－22)2＝2p·2，即p＝2，因此，所求抛物线的标准方程是y2＝4x.答案：y2＝4x抛物线的焦点弦问题已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值．【解】因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3.又F32，0，所以直线l的方程为y＝3x－32.联立y2＝6x，y＝3x－32，消去y得x2－5x＋94＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.1．(变条件)若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“直线l垂直于x轴”，求|AB|的值．解：直线l的方程为x＝32，联立x＝32，y2＝6x，解得x＝32，y＝3或x＝32，y＝－3.所以|AB|＝3－(－3)＝6.2．(变条件)若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“|AB|＝9”，求线段AB的中点M到准线的距离．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－32，所以点M到准线的距离为3＋32＝92.(1)通径的定义通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示．对于抛物线y2＝2px(p0)，由Ap2，p，Bp2，－p，可得|AB|＝2p，故抛物线的通径长为2p.[注意]通径是所有焦点弦中最短的弦．(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．1．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝()A．5B．6C．8D．10解析：选C．抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8.2．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1，故直线AF的方程是x＝1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.答案：2直线与抛物线的位置关系已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？【解】由y＝kx＋1，y2＝4x，消去y可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，方程(*)只有一个解，则有x＝14，y＝1.所以直线l与C只有一个公共点14，1，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程．Δ＝(2k－4)2－4k2＝4k2－16k＋16－4k2＝－16k＋16.(1)当Δ0，即k1且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；(2)当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；(3)当Δ0，即k1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．综上所述，当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；当k1且k≠0时，直线l与C有两个公共点；当k1时，直线l与C没有公共点．直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．(2)若k2≠0，当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ0时，直线与抛物线相离，无公共点．1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为()A．1B．1或3C．0D．0或1解析：选D．联立y＝kx＋2，y2＝8x，得(kx＋2)2－8x＝0，整理得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0.当k＝0时，方程变为－8x＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当k≠0时，由Δ＝0得(4k－8)2－16k2＝0，解得k＝1.综上，k＝0或1.2．若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB．证明：由y2＝4x，y＝x－4，消去y，得x2－12x＋16＝0.因为直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，所以可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.因为OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，所以OA→⊥OB→，即OA⊥OB．1．顶点在原点，焦点为F32，0的抛物线的标准方程是()A．y2＝32xB．y2＝3xC．y2＝6xD．y2＝－6x解析：选C．顶点在原点，焦点为F32，0的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p0)，由题意知p2＝32，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x.2．过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条解析：选B．当直线垂直于x轴时满足条件，当直线不垂直于x轴时，设直线方程为y＝kx＋1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线．3．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选D．由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A－a，a24，Ba，a24，则S△AOB＝12×2a×a24＝16，解得a＝4，所以|AB|＝8，|OA|＝|OB|＝42，所以∠AOB＝90°.4．过抛物线y2＝8x的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值．解：由抛物线y2＝8x知，p＝4.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝|AB|－p.由条件知x1＋x22＝3，则x1＋x2＝6，所以|AB|－p＝6，又因为p＝4，所以|AB|＝10.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放