2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程课件 新人教A版选修

2.1.2求曲线的方程目标定位重点难点1.初步掌握求曲线方程的一般步骤2.认识坐标法是借助坐标系研究几何图形、数形结合的一种方法重点：求曲线的方程难点：寻求动点所满足的几何条件1．借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫________．用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫作________．2．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示___________；(2)通过曲线的方程，研究曲线的________．坐标法解析几何曲线的方程性质3．求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝________；(3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)证明化简后的方程的解都是曲线上的点．(x，y){M|p(M)}坐标1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π【答案】B【解析】设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得x＋22＋y2＝2x－12＋y2，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，故S＝4π.2．已知A(1,0)，B(－1,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是()A．y＝0(－1≤x≤1)B．y＝0(x≥1)C．y＝0(x≤－1)D．y＝0(|x|≥1)【答案】C【解析】由题意，可知|AB|＝2，则点M的轨迹方程为射线y＝0(x≤－1)．3．△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2,0)，(2,0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是()A．x2＋y2＝3B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0)D．x2＋y2＝9(x≠0)【答案】C【解析】易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．又因△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0.故选C.4．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________________________．【答案】4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0【解析】可设动点坐标为(x，y)，则|4x＋3y－5|5＝1，即|4x＋3y－5|＝5.∴所求轨迹方程为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.【例1】如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝2a(a0)，|CD|＝2b(b0)，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．直接法求曲线方程【解题探究】建立适当的坐标系，设出点的坐标，根据几何条件列关系式．【解析】以O为坐标原点，直线AB，CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，设P(x，y)是曲线上的任意一点．由题意，知|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，∴x＋a2＋y2·x－a2＋y2＝x2＋y＋b2·x2＋y－b2，化简，得x2－y2＝a2－b22.直接法求曲线方程，关键是建立适当的直角坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式．1.如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x，y)．∵M是线段AB的中点，∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．∴PA→＝(2x－2，－4)，PB→＝(－2,2y－4)．由已知PA→·PB→＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0，即x＋2y－5＝0.∴线段AB中点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.【例2】已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a0)，求直角顶点C的轨迹方程．【解题探究】建立适当的坐标系，利用曲线的定义写出动点轨迹方程．用定义法求曲线的方程【解析】如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(－a,0)，B(a，0)．设直角顶点C的坐标为(x，y)，连接CO，则由直角三角形的性质知|OC|＝12|AB|＝12×2a＝a.因而点C的轨迹是以坐标原点为圆心，以a为半径的圆，其轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．如果所给几何条件正好符合圆及将要学到的曲线的定义，则可直接利用已知曲线的定义写出动点的轨迹方程．2．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．【解析】如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为OQ中点，则CP⊥OQ，设M为OC的中点，则M的坐标为12，0.∵∠OPC＝90°，∴动点P在以点M12，0为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得所求轨迹方程为x－122＋y2＝14(0x≤1)．【例3】已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0,0)，B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．【解题探究】利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点坐标．代入法(相关点法)求轨迹方程【解析】设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得x＝0＋6＋x′3，y＝0＋0＋y′3，∴x′＝3x－6，y′＝3y.∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理得y＝3(x－2)2＋1.故所求的轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.代入法(相关点法)适用于求随着已知曲线上的点的运动而运动的点的轨迹问题，关键是求得主动点和从动点的坐标关系，用从动点的坐标表示主动点的坐标，再代入已知曲线方程，即可求出轨迹方程．3．已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹方程是________________．【答案】x2－2y－1＝0(－2≤x≤2)【解析】设Q(x0，y0)，则x0＝x＋y，y0＝xy，从而(x＋y)2＋(xy)2＝x20＋y20.故x2＋y2＋2xy＋(xy)2＝x20＋y20，即1＋2y0＋y20＝x20＋y20.又x20＝(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2，则－2≤x0≤2，从而所求的轨迹方程为x2－2y－1＝0(－2≤x≤2)．条件考虑不全面致误【示例】已知两点M(－1,0)，N(1,0)，存在点P使MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程．【错解】设点P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)，得PM→＝－MP→＝(－1－x，－y)，PN→＝－NP→＝(1－x，－y)，MN→＝－NM→＝(2,0)，∴MP→·MN→＝2(x＋1)，PM→·PN→＝x2＋y2－1，NM→·NP→＝2(1－x)，于是条件等价于x2＋y2－1＝12[2(x＋1)＋2(1－x)]，化简得x2＋y2＝3.∴点P的轨迹方程是x2＋y2＝3.【错因分析】错解中没有注意到一个条件，三个数量积成公差小于零的等差数列，所以应加限制条件．【正解】设点P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)，得PM→＝－MP→＝(－1－x，－y)，PN→＝－NP→＝(1－x，－y)，MN→＝－NM→＝(2,0)．∴MP→·MN→＝2(x＋1)，PM→·PN→＝x2＋y2－1，NM→·NP→＝2(1－x)．于是，MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→是公差小于零的等差数列等价于x2＋y2－1＝12[2x＋1＋21－x]，21－x－2x＋10，即x2＋y2＝3，x0.∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x0)．【警示】解题时，不要忽略已知条件．1．坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．2．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．3．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹却遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．1．若点M到两坐标轴的距离的积为6，则点M的轨迹方程是()A．xy＝6B．xy＝－6C．xy＝±6D．xy＝±6(x0)【答案】C【解析】设M(x，y)，由题意，得|x|·|y|＝6，∴xy＝±6.故选C.2．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是()A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0【答案】A【解析】设动点P(x，y)，则由|PA|＝3|PO|，得x－12＋y＋22＝3x2＋y2.化简得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.故选A．3．设动点P是曲线y＝2x2＋1上任意一点，定点A(0，－1)，点M分PA所成的比为2∶1，则点M的轨迹方程是()A．y＝6x2－13B．y＝3x2＋13C．y＝－3x2－13D．x＝6y2－13【答案】A【解析】设M(x，y)，P(x′，y′)，由题意可知PM→＝2MA→，即x－x′＝－2x，y－y′＝－2－2y，所以x′＝3x，y′＝3y＋2.因为P(x′，y′)在抛物线上，所以3y＋2＝2(3x)2＋1.所以点M的轨迹方程为y＝6x2－13.故选A.4．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA→·PB→＝x2，则P点的轨迹方程是____________．【答案】y2＝x＋6【解析】由PA→·PB→＝x2，得(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝x2，即y2＝x＋6.