2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版

第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2．1.1椭圆及其标准方程第二章圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养椭圆的定义理解并掌握椭圆的定义数学抽象椭圆的标准方程掌握椭圆的标准方程，了解其推导过程，掌握求椭圆标准方程的基本方法逻辑推理问题导学预习教材P32～P36，并思考下列问题：1．平面内满足什么条件的点的轨迹是椭圆？2．椭圆的焦点、焦距分别是什么？3．椭圆的标准方程是什么？1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝___(常数)且2a___|F1F2|.常数2a＞■名师点拨定义中的条件2a|F1F2|0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：(1)当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；(2)当2a|F1F2|时，其轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形焦点坐标______________a，b，c的关系a2＝______(±c，0)(0，±c)b2＋c2■名师点拨(1)椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”＋“平方”，右边是1.(2)椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．()(2)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．()(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.()××√设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10答案：D椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标是()A．(±5，0)B．(0，±5)C．(0，±12)D．(±12，0)答案：C已知方程x23＋k＋y22－k＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围为________．答案：－12，2若椭圆的焦点坐标为(±3，0)，且经过点(4，0)，则椭圆的标准方程为____________．答案：x216＋y27＝1求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点－32，52；(3)经过点P(－23，1)，Q(3，－2).【解】(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以4a2＋0b2＝1，0a2＋1b2＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以所求的椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由椭圆的定义知：2a＝－322＋52＋22＋－322＋52－22＝210，即a＝10.又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6.所以所求的椭圆的标准方程为y210＋x26＝1.(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)，因为点P(－23，1)，Q(3，－2)在椭圆上，所以代入椭圆的方程得12m＋n＝1，3m＋4n＝1，所以m＝115，n＝15，所以椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)过点(－3，2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦点．解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．因为2a＝26，2c＝10，所以a＝13，c＝5，所以b2＝a2－c2＝144.所以所求椭圆的标准方程为y2169＋x2144＝1.(2)已知椭圆x29＋y24＝1中a＝3，b＝2，且焦点在x轴上，所以c2＝9－4＝5.设所求椭圆方程为x2λ＋5＋y2λ＝1(λ0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍)，故所求椭圆的标准方程为x215＋y210＝1.椭圆定义的应用已知P为椭圆x212＋y23＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．【解】在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝43，即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②由①②得|PF1|·|PF2|＝4，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝3.1．(变条件)若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝90°”，求△F1PF2的面积．解：由椭圆x212＋y23＝1知|PF1|＋|PF2|＝43，|F1F2|＝6，因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝36，所以|PF1|·|PF2|＝6，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝3.2．(变条件)若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．解：由已知得a＝23，b＝3，所以c＝a2－b2＝12－3＝3.从而|F1F2|＝2c＝6.在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×23＝43，所以|PF2|＝43－|PF1|.从而有(43－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，解得|PF1|＝32.所以△PF1F2的面积S＝12·|PF1|·|F1F2|＝12×32×6＝332，即△PF1F2的面积是332.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解．1．已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.答案：82．已知椭圆x29＋y22＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________．解析：由题意，得a2＝9，所以a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，所以c＝7，所以|F1F2|＝27.因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2.所以cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝42＋22－（27）22×4×2＝－12，所以∠F1PF2＝120°.答案：120°求与椭圆有关的轨迹方程已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．【解】由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．1．已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________解析：设P(xP，yP)，Q(x，y)，由中点坐标公式得x＝xP2，y＝yP2所以xP＝2x，yP＝2y，又点P在椭圆x24＋y28＝1上，所以（2x）24＋（2y）28＝1，即x2＋y22＝1.答案：x2＋y22＝12．求过点P(3，0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．解：圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3，0)，半径为R＝10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有|PC|＝r，|CC1|＝R－r，消去r得R－|PC|＝|CC1|⇒|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.又P(3，0)，C1(－3，0)，且|PC1|＝610.可见C点是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3，2a＝10，所以a＝5，从而b＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.1．已知P是椭圆x2100＋y236＝1上一点，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1交椭圆于另一点A，则△PAF2的周长为()A．10B．16C．20D．40解析：选D．设△PAF2的周长为l，则l＝|PA|＋|PF2|＋|AF2|＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|AF1|＋|AF2|)＝2×10＋2×10＝40.2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为()A．x245＋y236＝1B．x236＋y227＝1C．x227＋y218＝1D．x218＋y29＝1解析：选D．由题意可得a2－b2＝9，0＋9b2＝1，解得a2＝18，b2＝9，故椭圆的方程为x218＋y29＝1.3．若方程x2m＋y22m－1＝1表示椭圆，则m满足的条件是________．解析：由方程x2m＋y22m－1＝1表示椭圆，知m0，2m－10，m≠2m－1，解得m12且m≠1.答案：mm12且m≠14．已知椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．解：(1)依题意，知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－34a2＝1，即14a2＝1.所以a2＝4，b2＝3，故椭圆的标准方程为y24＋x23＝1.(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝52，|PF2|＝32.又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝522＋322－222×52×32＝35，故∠F1PF2的余弦值等于35.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放