2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程课件 新人教A版选修2

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程目标定位重点难点1.了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系2.掌握曲线的方程和方程的曲线的概念重点：曲线和方程的概念难点：曲线与方程的关系1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作___________，这条曲线叫作____________．2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上⇔____________；②点P不在曲线C上⇔____________.曲线的方程方程的曲线f(x0，y0)＝0f(x0，y0)≠01．已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是()A．满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程C．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线CD．以上说法都正确【答案】C【解析】因为曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C正确．2．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A．两个点B．四个点C．两条直线D．四条直线【答案】B【解析】由x2－4＝0，y2－4＝0，得x＝2，y＝2或x＝2，y＝－2或x＝－2，y＝2或x＝－2，y＝－2.故方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是四个点，分别是(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)．【答案】C【解析】对A，x2＋y2＝1表示一个圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相交直线；对于D，由lgx＋lgy＝0，知x0，y0.3．下列选项中方程表示图中曲线的是()ABCD4．曲线x2－4x－2y＋1＝0通过点A(a,3)，则实数a的值为______．【答案】－1或5【解析】将A(a,3)代入x2－4x－2y＋1＝0，得a2－4a－6＋1＝0，∴a＝－1或5.【例1】分析下列曲线上的点与方程的关系．(1)求第一、三象限两轴夹角角平分线上点的坐标满足的关系；(2)作出函数y＝x2的图象，指出图象上的点与方程y＝x2的关系；(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系．【解题探究】利用点的坐标与方程的关系求解．曲线与方程的概念【解析】(1)第一、三象限两轴夹角角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等，即y＝x.可以看到：①l上点的坐标都是方程x－y＝0的解；②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l上．(2)函数y＝x2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标满足方程y＝x2，即方程y＝x2对应的曲线是如图所示的抛物线，抛物线的方程是y＝x2.(3)如图所示直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，然而，坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是l的方程．判断方程是不是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．1．判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝r2－x2；(2)方程(x＋y－1)·x2＋y2－4＝0表示的曲线是圆或直线．【解析】(1)不对．设(x0，y0)是方程y＝r2－x2的解，则y0＝r2－x20，即x20＋y20＝r2.两边开平方取算术平方根，得x20＋y20＝r，即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心，半径为r的圆上的一点如点r2，－32r在圆上，却不是y＝r2－x2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝r2－x2，而应是y＝±r2－x2.(2)不对．由(x＋y－1)·x2＋y2－4＝0得x＋y－1＝0或x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4≥0，所以表示的是圆和两条射线．【例2】若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求实数k的取值范围．【解题探究】含参数方程问题转化成求最值．曲线和方程关系的应用【解析】∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.∴k＝－2a2－2a＝－2a＋122＋12.∴k≤12.∴k的取值范围是－∞，12.当方程中的参数容易分离时，应首先分离参数，从而将问题转化成函数的最值问题解决．2．方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，2)与点N32，n在曲线C上，求实数m，n的值．【解析】∵M(m，2)，N32，n在曲线C上，∴m2(m2－1)＝2×1，34×－14＝n2(n2－1)，即m4－m2－2＝0,16n4－16n2＋3＝0.解得m＝±2，n＝±12或n＝±32.概念理解不全面致误【示例】命题“以坐标原点为圆心，半径为1的圆的方程是y＝1－x2”是真命题吗？为什么？【错解】真命题．因为以方程的解为坐标的点都在圆上．【错因分析】判断曲线和方程的对应关系，必须注意两点：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”．只有曲线上的点和方程的解之间具有一一对应关系时曲线才是方程的曲线，方程才是曲线的方程．在本例中判断曲线的方程时，两个条件缺一不可．方程y＝1－x2表示的曲线是以原点为圆心，半径为1的在x轴上方(含x轴上的两个点)的半圆弧．【警示】曲线与方程的定义中的第(1)条“曲线上的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个方程而毫无例外(纯粹性)；定义中的第(2)条“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．【正解】该命题为假命题．因为以方程y＝1－x2的解为坐标的点都在圆上，但圆上的点的坐标不都适合方程，故圆的方程不是y＝1－x2.1．曲线和方程的关系：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解，无一例外；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝4，则点M(2,1)()A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上【答案】A【解析】把M(2,1)的坐标分别代入直线l和曲线C的方程，得2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2≠4，∴点M(2,1)在直线l上，但不在曲线C上．故选A.2．下列各组方程中表示相同曲线的是()A．x2＋y＝0与xy＝0B．x＋y＝0与x2－y2＝0C．y＝x与y＝x2xD．x－y＝0与y＝lg10x【答案】D【解析】四个选项中只有D中的x和y的取值范围相同．故选D．3．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称【答案】C【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．4．方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C围成的平面区域的面积为______．【答案】2【解析】画图可知方程所表示的曲线围成的平面图形是边长为2的正方形，面积为2.