2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修1-2

2．2.2反证法第二章推理与证明1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.第二章推理与证明反证法的定义及证题关键1.对反证法的三点说明（1）反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.（2）反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论（假设）”；第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.（3）并非所有问题都可采用反证法证明，只有当问题从正面求解不好处理时或较繁琐时，才考虑反证法.2.反证法证题的本质、常用的反证方法（1）本质：用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确.否定结论时，对结论的反面要一一否定，不能遗漏.（2）常用的反证方法：否定一个反面的反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）反证法属于间接证明问题的方法.（）（2）反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理.（）（3）反证法的实质是否定结论导出矛盾.（）答案：（1）√（2）×（3）√在运用反证法推出矛盾的推理过程中，可以把下列哪些作为条件使用（）①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论.A.①②B.②③C.①②③D.①②④解析：选C.除原结论不能作为推理条件外，其余均可.用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是（）A.a，b都能被5整除B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除D.a，b有1个不能被5整除解析：选B.用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确.用反证法证明命题“如果ab，则3a3b”时，假设的内容是____________.解析：3a与3b的关系有三种情况：3a3b，3a＝3b和3a3b，所以“3a3b”的反设应为“3a＝3b或3a3b”，即“3a≤3b”.答案：3a≤3b探究点1用反证法证明否定性命题已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.【解】（1）当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减，得an＋1＝12an，所以数列{an}是首项为1，公比为12的等比数列，所以数列{an}的通项公式为an＝12n－1.（2）证明：假设数列{an}中存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1（pqr，且p，q，r∈N），则2×12q＝12p＋12r，所以2×2r－q＝2r－p＋1.（*）又pqr，且p，q，r∈N，所以r－q，r－p∈N*.因为（*）式左边是偶数，右边是奇数，所以等式不成立.所以假设不成立，故数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.（1）用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.（2）用反证法证明数学命题的步骤已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即（a＋b）2＋（c＋d）2＋（a－d）2＋（b＋c）2＝0.所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立.所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.探究点2用反证法证明唯一性命题若函数f（x）在区间[a，b]上的图象连续不断，且f（a）0，f（b）0，且f（x）在[a，b]上单调递增，求证：f（x）在（a，b）内有且只有一个零点.【证明】由于f（x）在[a，b]上的图象连续不断，且f（a）0，f（b）0，即f（a）·f（b）0，所以f（x）在（a，b）内至少存在一个零点，设零点为m，则f（m）＝0.假设f（x）在（a，b）内还存在另一个零点n，即f（n）＝0，则n≠m.若nm，则f（n）f（m），即00，矛盾；若nm，则f（n）f（m），即00，矛盾.因此假设不正确，即f（x）在（a，b）内有且只有一个零点.（1）“唯一性”问题是数学中的常见问题，常见的词语有“唯一”“有且只有一个”“仅有一个”等.这类问题通常既要证明“存在性”，又要证明“唯一性”.（2）证明“存在性”一般比较简单，多数采用直接证明的方法，但“唯一性”的证明需要用反证法，通常可假设“存在两个…”或“至少有两个”等，再经过推理论证，得出矛盾.求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直.解：已知：平面α和一点P.求证：过点P与α垂直的直线只有一条.证明如下：如图所示，不论点P在α内还是在α外，设PA⊥α，垂足为A（或P）.假设过点P还有另一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以假设不成立，原命题成立.探究点3用反证法证明“至多”“至少”命题设f（x）＝x2＋bx＋c，x∈[－1，1]，证明：当b＜－2时，f（x）在其定义域内至少存在一个x，使|f（x）|≥12成立.【证明】假设不存在x∈[－1，1]使|f（x）|≥12成立，则对任意x∈[－1，1]都有－12＜f（x）＜12成立.当b＜－2时，x＝－b2＞1，所以f（x）在[－1，1]上是单调递减函数，所以f（－1）＝1－b＋c＜12，f（1）＝1＋b＋c＞－12⇒b＞－12，与b＜－2矛盾.故假设不成立，因此当b＜－2时，f（x）在其定义域内至少存在一个x，使|f（x）|≥12成立.（1）对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题，若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明，则可考虑用反证法证明.（2）注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.设a＞0，b＞0，且a＋b＝1a＋1b，求证：a2＋a＜2与b2＋b＜2至多有一个成立.证明：因为a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，因为a＞0，b＞0，所以ab＝1.假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；同理0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾，故a2＋a＜2与b2＋b＜2至多有一个成立.1.用反证法证明“自然数a，b，c中恰有1个偶数”时，应假设（）A.a，b，c都是偶数B.a，b，c都是奇数C.a，b，c中至少有2个偶数D.a，b，c中都是奇数或至少有2个偶数解析：选D.自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以假设应为“a，b，c中都是奇数或至少有2个偶数”.2.下列命题适合用反证法证明的是____________（填序号）.①已知函数f（x）＝ax＋x－2x＋1（a1），证明：方程f（x）＝0没有负实数根；②若x，y∈R，x0，y0，且x＋y2，求证：1＋xy和1＋yx中至少有一个小于2；③关于x的方程ax＝b（a≠0）的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交.解析：①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明.答案：①②③④3.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立.②所以一个三角形中不能有两个直角.③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的排列为___________.解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的.答案：③①②4.设a，b，c∈（0，1），求证：下列三个关于x的方程ax2＋x＋1－b＝0，bx2＋x＋1－c＝0，cx2＋x＋1－a＝0中至少有一个有实数根.证明：假设这三个方程都没有实数根，则Δ1＝1－4a（1－b）0Δ2＝1－4b（1－c）0，Δ3＝1－4c（1－a）0即a（1－b）14b（1－c）14，c（1－a）14三式相乘并整理，得[a（1－a）][b（1－b）][c（1－c）]164.①因为0a1，所以a（1－a）＝－a－122＋14∈0，14，同理b（1－b）∈0，14，c（1－c）∈0，14，所以[a（1－a）][b（1－b）][c（1－c）]≤164，②显然②与①矛盾，所以假设不成立，从而原结论成立.知识结构深化拓展反证法与分析法的异同相同点：它们都是从命题的结论入手.不同点：①分析法是一种直接证明的方法，而反证法是一种间接证明的方法.②分析法是“执果索因”，逐步分析能使命题成立的充分条件，如果能肯定这些条件都已具备，那么就可断定原命题成立；而反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件（当结论的反面呈多样性时，必须罗列出各种可能结论），且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，也不算反证法.③用分析法证题时，有严格的证题格式：要证……即证……只需证……而用反证法证题时，首先必须假设结论的反面成立，然后进行逻辑推理，并且一定要推导出矛盾（矛盾越明显越好）.