2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修2

2.2直接证明与间接证明2．2.1综合法和分析法一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P85～P89的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P85“已知a，b＞0，求证a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.”的证明过程．思考下列问题：①该题的条件和结论各是什么？提示：条件：a，b＞0；结论：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.②本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？提示：本题是从已知条件a，b＞0出发，借助基本不等式证明待证结论的．(2)阅读教材P87上方证明基本不等式“a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)”的过程，回答下列问题：①该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？提示：从结论开始证明．②该证明过程是综合法吗？提示：不是．③该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？提示：充分条件．二、归纳总结·核心必记1．综合法(1)综合法的定义利用和某些数学、、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的成立，这种证明方法叫做综合法．已知条件定义公理定理推理论证结论(2)综合法的框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示、已有的、、等，Q表示所要)已知条件定义公理定理证明的结论2．分析法(1)分析法的定义从出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(、、、等)为止，这种证明方法叫做分析法．(2)分析法的框图表示Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件要证明的结论充分条件已知条件定理定义公理三、综合迁移·深化思维(1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．(2)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．(3)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：1a－11b－11c－1≥8.证明过程如下：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.∴1a－1＝b＋ca＞0，1b－1＝a＋cb＞0，1c－1＝a＋bc＞0，∴1a－11b－11c－1＝b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bc·2ac·2ababc＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．这种证明方法是综合法还是分析法？提示：综合法．探究点一综合法的应用[典例精析]设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.[解](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.[类题通法]利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的相互转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．[针对训练]1．已知a，b，c是不全相等的正实数，求证：b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc3.证明：左边＝ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca－3，因为a，b，c为不全相等的正实数，所以ba＋ab≥2，cb＋bc≥2，ac＋ca≥2，且上述三式的等号不能同时成立，所以ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca－36－3＝3，即b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc3.探究点二分析法的应用[思考探究](1)分析法的证明过程是什么？名师指津：分析法的书写格式是：“要证……，只需证……，只需证……，…由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．名师指津：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件．(2)分析法的书写格式是什么？[典例精析]已知a＞0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.[解]要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2.只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.因为a＞0，故只需证a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22，即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22a＋1a＋2，从而只需证2a2＋1a2≥2a＋1a，只需证4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，即a2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．[类题通法](1)当问题的证明用综合法不易寻找思路时，可从待证的结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件，从而得原问题成立．(2)含有根号、绝对值的等式或不等式的证明，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．(3)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．[针对训练]2．已知cos2θ＋sin2α＝0，求证：tan2θ＝2tan2α＋1.证明：要证tan2θ＝2tan2α＋1，只需证sin2θcos2θ＝2sin2αcos2α＋1，只需证sin2θcos2θ＋1＝2sin2αcos2α＋2，即cos2θ＋sin2θcos2θ＝2sin2α＋2cos2αcos2α，即1cos2θ＝2cos2α，只需证cos2α－2cos2θ＝0，只需证1－sin2α－(1＋cos2θ)＝0，即cos2θ＋sin2α＝0.因为cos2θ＋sin2α＝0，所以tan2θ＝2tan2α＋1.探究点三综合法与分析法的综合应用[典例精析]已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c为三个内角对应的边长，求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.[解]要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证ca＋b＋ab＋c＝1.即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2.因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列．所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac，所以c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．[类题通法]对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．[针对训练]3．已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc.证明：要证logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logxa＋b2·b＋c2·a＋c2logx(abc)，由0x1知，只需证明a＋b2·b＋c2·a＋c2abc.由基本不等式得a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，a＋c2≥ac0，又∵a，b，c是不全相等的正数，∴a＋b2·b＋c2·a＋c2a2b2c2＝abc.即a＋b2·b＋c2·a＋c2abc成立．∴logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc成立．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是综合法和分析法的应用，难点是分析综合法的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用综合法解决问题，见探究点一；(2)利用分析法解决问题，见探究点二；(3)利用分析综合法解决问题，见探究点三．3．在利用分析法证明问题时，一定要恰当使用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语，这也是本节课的易错点．