2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修2-2

2.1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P70～P77的内容，回答下列问题．(1)哥德巴赫提出猜想的过程：(1)哥德巴赫提出猜想的过程：3＋7＝10,3＋17＝20,13＋17＝30⇒10＝3＋7,20＝3＋17,30＝13＋17偶数＝奇质数＋奇质数其他偶数是否也有类似规律6＝3＋3,8＝3＋5,10＝5＋5，…，1000＝29＋971,1002＝139＋863，…任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．[思考]哥德巴赫提出猜想的推理过程是什么？提示：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例．于是，提出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”．(2)观察教材P71～P72的几个实例：①鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；②人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；③科学家们把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，从而科学家猜想：火星上也可能有生命存在；④由于球和圆在形状上和概念上都有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测对于圆的特征，球也可能具有．[思考]以上四个推理还是归纳推理吗？它们有什么共同特点？提示：以上四个推理不是归纳推理．它们的共同特点是两类事物间的推理．二、归纳总结·核心必记1．归纳推理(1)归纳推理的定义由某类事物的具有某些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理，或者由概括出的推理，称为归纳推理．(2)归纳推理的特征归纳推理是、的推理．部分对象全部对象个别事实一般结论由部分到整体由个别到一般2．类比推理(1)类比推理的定义由两类对象具有某些特征和其中一类对象的某些，推出另一类对象也具有的推理称为类比推理．(2)类比推理的特征类比推理是由到的推理．类似已知特征这些特征特殊特殊3．合情推理(1)含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过、、、，再进行、，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想观察分析比较联想归纳类比猜想三、综合迁移·深化思维(1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)232＋13＋1，232＋23＋2，232＋33＋3，…由此猜想：232＋m3＋m(m为正实数)．上述推理是归纳推理还是类比推理？提示：归纳推理．(3)由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于同一平面的两个平面平行．此推理是归纳推理还是类比推理？提示：类比推理．探究点一归纳推理在数、式中的应用[典例精析](1)已知下列各式：112，1＋12＋131，1＋12＋13＋14＋15＋16＋1732，1＋12＋13＋…＋1152，…，请你归纳出一般性结论：______________.(2)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．[解析](1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大1，且终止项为2n－1，不等式右边依次为12，22，32，42，…，从而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋12n－1n2.(2)∵f(x)＝x1－x，∴f1(x)＝x1－x.又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2(f2(x))＝x1－2x1－2×x1－2x＝x1－4x，f4(x)＝f3(f3(x))＝x1－4x1－4×x1－4x＝x1－8x，f5(x)＝f4(f4(x))＝x1－8x1－8×x1－8x＝x1－16x，∴根据前几项可以猜想fn(x)＝x1－2n－1x.[答案](1)1＋12＋13＋…＋12n－1n2(2)f3(x)＝x1－4xfn(x)＝x1－2n－1x[类题通法]1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．[针对训练]1．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3，x＋27x3＝x3＋x3＋x3＋27x3≥4，……归纳得：x＋axn≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.解析：当n＝1时，a＝1，当n＝2时，a＝4＝22，当n＝3时，a＝27＝33，…∴当分母指数取n时，a＝nn.答案：nn探究点二归纳推理在几何中的应用[典例精析]有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32D．36[解析]有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.[答案]B[类题通法]利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式．(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式．[针对训练]2．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n个正方形数是()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2解析：观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.答案：C探究点三类比推理[典例精析]三角形与四面体有下列共同的性质：(1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：三角形四面体三角形两边之和大于第三边三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心三角形的面积S＝(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆的半径)12[解]三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位线对应四面体的中截面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：三角形四面体三角形两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边四面体的中截面的面积等于第四个面面积的，且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆的半径)四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)141312[类题通法](1)类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)．(2)运用类比推理的关键是确定类比对象，常见的类比对象有：①平面几何与立体几何：能进行类比的基本元素有：②实数相等关系与不等关系；方程与不等式的性质．③实数满足的运算律与向量满足的运算律．④等差数列与等比数列的定义及性质．⑤圆锥曲线的定义及性质．[针对训练]3．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P­ABC中，S1，S2，S3，S分别为△PAB，△PBC，△PAC，△ABC的面积，α，β，γ分别为侧面PAB，侧面PBC，侧面PAC与底面ABC所成二面角的大小，猜想：在四面体P­ABC中，S＝S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是归纳推理和类比推理的应用．难点是对归纳推理、类比推理结论的真假判定．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)数(式)中的归纳推理，见探究点一；(2)归纳推理在几何中的应用，见探究点二；(3)类比推理的应用，见探究点三．