2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．下面几种推理中是演绎推理的是()A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为an＝1nn＋1(n∈N*)C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积为πabD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2答案A答案解析选项B为归纳推理，C，D为类比推理，只有A为演绎推理．故选A.解析2．看下面的演绎推理过程：大前提：棱柱的体积公式为：底面积×高，小前提：如图直三棱柱ABC－DEF.H是棱AB的中点，ABED为底面，CH⊥平面ABED，即CH为高，结论：直三棱柱ABC－DEF的体积为S四边形ABED·CH.这个推理过程()A．正确B．错误，大前提出错C．错误，小前提出错D．错误，结论出错解析在小前提中，把棱柱的侧面，错当成了底面．解析答案C答案3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中的小前提是()A．①B．②C．③D．①②解析“三段论”推理中小前提是指研究的特殊情况．解析答案B答案4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y＝cosx(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cosx(x∈R)是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①答案B答案解析根据“三段论”：“大前提”⇒“小前提”⇒“结论”可知：①y＝cosx(x∈R)是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y＝cosx(x∈R)是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③.解析5．圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0θ∈R，θ≠π2＋kπ，k∈Z的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定答案C答案解析∵圆心到直线的距离d＝|－1|sin2θ＋122＝rθ∈R，θ≠π2＋kπ，k∈Z，∴直线与圆相离．故选C.解析6．函数f(x)＝sinπx2，－1x0，ex－1，x≥0，若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为()A．1B．－22C．1或－22D．1或22答案C答案解析∵f(1)＋f(a)＝2，f(1)＝e0＝1，∴f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1⇒a＝1；当－1a0时，f(a)＝sin(πa2)＝1⇒a2＝12，∴a＝－22或a＝22(舍去)．解析二、填空题7．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．答案甲答案解析若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不符合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．解析8．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则f2f1＋f4f3＋…＋f2020f2019＝________.答案2020答案解析利用三段论．∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)．令b＝1，则fa＋1fa＝f(1)＝2(小前提)．∴f2f1＝f4f3＝…＝f2020f2019＝2(结论)，解析9．设f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是两两不等的常数)，则af′a＋bf′b＋cf′c的值是________．答案0答案解析f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)·(x－b)，∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)．∴af′a＋bf′b＋cf′c＝aa－ba－c＋bb－ab－c＋cc－ac－b＝ab－c－ba－c＋ca－ba－ba－cb－c＝0.解析三、解答题10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解(1)选择sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12·sin30°＝34(答案不唯一)．答案(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋32cosα＋12sinα2－sinα32cosα＋12sinα＝34sin2α＋34cos2α＝34.答案B级：能力提升练11．已知函数f(x)＝2x－12x＋1(x∈R)．(1)判定函数f(x)的奇偶性；(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明．答案答案12．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n∈N＋)．证明：(1)数列Snn是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴Sn＋1n＋1＝2·Snn，小前提故Snn是以2为公比，1为首项的等比数列．结论(大前提是等比数列的定义，这里省略了)答案(2)由(1)可知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1(n≥2)．∴Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4·n－1＋2n－1·Sn－1＝4an(n≥2)，小前提又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，小前提∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.结论(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)答案