2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．an＝3n－1B．an＝3nC．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－3解析∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.解析答案A答案2．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(2019)等于()A．13B．2C.132D.213答案C答案解析∵f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，∴f(3)＝13f1＝132，f(5)＝13f3＝2，f(7)＝13f5＝132，f(9)＝13f7＝2，…，∴f(2019)＝132.选C.解析3．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析类比空间中的平行六面体，平面中有平行四边形．解析答案C答案4．下面使用类比推理，得出正确结论的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”答案C答案解析A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不满足对乘法的分配律；C是正确的；D中，令n＝2显然不成立．解析5．在平面直角坐标系内，方程xa＋yb＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.xa＋yb＋zc＝1B.xab＋ybc＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1D．ax＋by＋cz＝1答案A答案解析因为在平面直角坐标系中，方程xa＋yb＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴、y轴上的截距分别为a，b”，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为xa＋yb＋zc＝1.解析6．在数学解题中，常会碰到形如“x＋y1－xy”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足asinπ5＋bcosπ5acosπ5－bsinπ5＝tan8π15，则ba＝()A．4B.15C．2D.3答案D答案解析将已知式变形，则有asinπ5＋bcosπ5acosπ5－bsinπ5＝atanπ5＋ba－btanπ5＝tanπ5＋ba1－batanπ5＝tan8π15，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，可知只有当ba＝tanπ3＝3时，上式成立．解析二、填空题7．经计算发现下列不等式：2＋18210，4.5＋15.5210，3＋2＋17－2210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________.解析观察题目所给的不等式，归纳可得出两根号下的两数之和为20.解析答案a＋b210(a0，b0且a≠b，a＋b＝20)答案8．等差数列{an}中，an0，公差d0，则有a4·a6a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn0，q1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系：________.解析在等差数列{an}中，an0，公差d0，∴{an}是各项均为正数的递增数列，∵4＋6＝3＋7，且a4·a6a3·a7，∴在等比数列{bn}中，bn0，q1，则{bn}为各项均为正数的递增数列．又∵4＋8＝5＋7，∴b4＋b8b5＋b7.解析答案b4＋b8b5＋b7答案9．观察下列等式：sinπ3－2＋sin2π3－2＝43×1×2；sinπ5－2＋sin2π5－2＋sin3π5－2＋sin4π5－2＝43×2×3；sinπ7－2＋sin2π7－2＋sin3π7－2＋…＋sin6π7－2＝43×3×4；sinπ9－2＋sin2π9－2＋sin3π9－2＋…＋sin8π9－2＝43×4×5；…照此规律，sinπ2n＋1－2＋sin2π2n＋1－2＋sin3π2n＋1－2＋…＋sin2nπ2n＋1－2＝________.解析每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和，因此答案为43n(n＋1)．解析答案43n(n＋1)答案三、解答题10．已知数列{an}的第一项a1＝1，且an＋1＝an1＋2an(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想这个数列的通项公式．解(1)当n＝1时，a1＝1，由an＋1＝an1＋2an(n∈N*)，得a2＝13，a3＝a21＋2a2＝15，a4＝a31＋2a3＝17，a5＝a41＋2a4＝19.答案(2)由a1＝1＝11，a2＝13，a3＝15，a4＝17，a5＝19，可归纳猜想an＝12n－1(n∈N*)．解析B级：能力提升练11．过△ABC边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，与BC，AC分别交于点A1，B1，则OA1AC＋OB1BC为定值1.试写出类比到空间的结论．解如图1所示，这个命题的正确性很容易由相似三角形的性质推出，也不难用“面积法”证得定值为1，类比到空间，则有：如图2所示，过四面体VABC的面ABC上任一点O，分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，其中A1，B1，C1分别是所作直线与侧面的交点，则OA1VA＋OB1VB＋OC1VC为定值1.答案答案12．我们知道12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，…n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝nn－12.类比上述推理方案写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．解记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk(k∈N*)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，…答案n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.将左右两边分别相加，得S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.由此知S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1n3＝2n3＋3n2＋n6＝nn＋12n＋16.答案