2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布课件 新人教A版选修2-3

第二章随机变量及其分布2.4正态分布第二章随机变量及其分布考点学习目标核心素养正态分布和正态曲线了解正态曲线和正态分布的概念，能借助正态曲线理解正态曲线的特点及曲线表示的意义数学抽象、直观想象正态曲线的性质了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内的概率直观想象、数学运算正态分布的实际应用会用正态分布解决实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材P70～P74的内容，并思考下列问题：1．什么是正态曲线和正态分布？2．正态曲线有什么特点？3．正态曲线φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义是什么？1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x)的图象为__________________，简称正态曲线．正态分布密度曲线2．正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝abφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作____________，如果随机变量X服从正态分布，则记为_______________．N(μ，σ2)X～N(μ，σ2)■名师点拨参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布称为标准正态分布．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴______，与x轴________．(2)曲线是单峰的，它关于直线______对称．(3)曲线在______处达到峰值__________．(4)曲线与x轴之间的面积为___．1σ2π上方不相交x＝μx＝μ1(5)当___一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ______，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越______；σ______，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______，如图②.σ越小集中越大分散4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈___________；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈___________；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈___________．0.68270.95450.9973■名师点拨(1)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．也就是指随机变量X的取值区间在(a，b]上时的概率等于正态曲线与直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的封闭图形的面积．(2)从正态曲线可以看出，对于固定的μ和σ而言，随机变量在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大．正态分布的3σ原则是进行质量控制的依据，要会应用给定三个区间的概率解决实际问题．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．()(3)正态曲线可以关于y轴对称．()××√设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝18πe－（x－10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10答案：B设随机变量ξ服从正态分布N(2，9),若P(ξc＋1)＝P(ξc－1)，则c＝()A．1B．2C．3D．4答案：B已知随机变量X～N(0，1)，则X在区间(－∞，－2)内取值的概率为()A．0.954B．0.046C．0.977D．0.023答案：D在正态分布N(0，49)中，数据落在(－2，2)内的概率为________．解析：由题可得μ＝0，σ＝23，P(－2X2)＝P(μ－3σXμ＋3σ)＝0.9973.答案：0.9973如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．正态分布密度曲线【解】从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，所以σ＝2.于是φμ，σ(x)＝12π·e－（x－20）24，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.正态密度函数解析式的求法利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，二是最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．1．青岛市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝12π10·e－（x－80）2200(x∈R)，则下列命题不正确的是()A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：选B．由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数为100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．2．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．利用正态分布的性质求概率【解】因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)＝12[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]≈12(0.9545－0.6827)＝0.1359.[变问法]在本例条件下，试求P(X≥5)．解：因为P(X≥5)＝P(X≤－3)，所以P(X≥5)＝12[1－P(－3＜X≤5)]＝12[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝12[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]≈12(1－0.9545)＝0.02275.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．(3)注意概率值的求解转化：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b＜μ，则P(X＜b)＝1－P（b＜X＜2μ－b）2.1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：选C．因为P(ξ4)＝0.8，所以P(ξ4)＝0.2.由题意知图象(如图)的对称轴为直线x＝2，P(ξ0)＝P(ξ4)＝0.2，所以P(0ξ4)＝1－P(ξ0)－P(ξ4)＝0.6.所以P(0ξ2)＝12P(0ξ4)＝0.3.2．(2019·青岛高二检测)随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，若P(2ξ3)＝a，则P(ξ－1)＋P(1ξ2)＝()A．1－a2B．12－aC．a＋0.003aD．12＋a解析：选B．因为随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，所以正态曲线关于直线x＝1对称，因为P(2ξ3)＝a，所以P(－1ξ0)＝a，P(1ξ2)＝P(0ξ1)，P(ξ－1)＋P(1ξ2)＝12－a.在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(90，100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？正态分布的实际应用【解】因为ξ～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9545，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70，110)内的概率为0.9545.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.6827，所以考试成绩ξ位于区间(80，100)内的概率就是0.6827.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有2000×0.6827≈1365(人)．正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.52)，质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4，0.52)，由正态分布的性质，可知X在(4－3×0.5，4＋3×0.5)之外取值的概率只有0.0027，而5.70∉(2.5，5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是()A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙总体的平均数不相同答案：A2．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于()A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977解析：选C．由题意可知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以图象关于y轴对称，又P(ξ2)＝0.023，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ2)－P(ξ－2)＝1－2P(ξ2)＝0.954.3．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________.解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝μ＝10为对称轴知，P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，即P(10≤ξ≤11)＝0.2，又P(ξ≥10)＝0.5，所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.34．设X～N(5，1)，求P(6X≤7)．解：由已知得P(4X≤6)≈0.6827，P(3X≤7)≈0.9545.又因为正态曲线关于直线x＝5对称，所以P(3X≤4)＋P(6X≤7)≈0.9545－0.6827＝0.2718.由对称性知P(3X≤4)＝P(6X≤7)，所以P(6X≤7)＝0.27182＝0.1359.