2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的均值课件 新人

第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值第二章随机变量及其分布考点学习目标核心素养离散型随机变量的均值能记住离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值数学抽象、数学运算离散型随机变量均值的性质能记住离散型随机变量均值的性质并会应用数学运算第二章随机变量及其分布考点学习目标核心素养两点分布与二项分布的均值识记两点分布及二项分布的均值并会解决与之有关的应用题数学运算、数学建模均值问题的实际应用会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材P60～P63的内容，并思考下列问题：1．什么是离散型随机变量的均值？2．如何利用离散型随机变量的分布列求出均值？3．离散型随机变量的均值有什么性质？4．两点分布、二项分布的均值是什么？1．离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称________________________________________为随机变量X的均值或数学期望．E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的__________．(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)，则Y也是随机变量，且E(Y)＝E(aX＋b)＝____________．平均水平aE(X)＋b■名师点拨对离散型随机变量均值的四点说明(1)含义：均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．(2)来源：均值不是通过一次或多次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值．(3)单位：随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．(4)与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数．2．两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p(p为成功概率)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝____．np判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．()(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.()××√已知离散型随机变量X的分布列为()X123P35310110则X的数学期望E(X)＝()A．32B．2C．52D．3解析：选A．E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.设X为随机变量，且X～B(n，13)，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)＝()A．1316B．16C．13243D．80243解析：选D．因为X～B(n，13)，所以E(X)＝n3＝2，所以n＝6，所以P(X＝2)＝C26×(13)2×234＝80243.若随机变量X的分布列如表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A．16B．11C．2.2D．2.3解析：选A．由已知得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.若随机变量ξ的分布列如表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝()ξ0123P0.1ab0.1A．0.2B．－0.2C．0.8D．－0.8解析：选B．易知a，b∈(0，1)，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．求离散型随机变量的均值【解】(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商店销售量为0件)＋P(当天商店销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知X的可能取值为2，3，P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14，P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.故X的分布列为X23P1434所以X的数学期望为E(X)＝2×14＋3×34＝114.求离散型随机变量均值的一般步骤第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值；第二步是“探求概率”，即求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求均值”，利用均值的定义求均值，二项分布X～B(n，p)利用公式(E(X)＝np)求得．1．已知某一随机变量ξ的分布列如下表所示，若E(ξ)＝6.3，则a的值为()ξa79Pb0.10.4A．4B．5C．6D．7解析：选A．根据随机变量ξ的分布列可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(ξ)＝ab＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.2．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E(ξ1)－E(ξ2)＝________元．解析：赌金的分布列为ξ112345P1515151515所以E(ξ1)＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3.奖金的分布列为ξ21.42.84.25.6P4C25＝253C25＝3102C25＝151C25＝110所以E(ξ2)＝1.4×25×1＋310×2＋15×3＋110×4＝2.8.E(ξ1)－E(ξ2)＝0.2.答案：0.2已知随机变量X的分布列为：X－2－1012P141315m120(1)求E(X)；(2)若Y＝2X－3，求E(Y)．离散型随机变量均值的性质【解】(1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋120＝1，解得m＝16，所以E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(2)法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－1730)－3＝－6215.法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：Y－7－5－3－11P14131516120所以E(Y)＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.[变问法]本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－112，求a的值．解：E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－1730a＋3＝－112，所以a＝15.与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)．1．(2019·潍坊高二检测)若p为非负实数，随机变量X的分布列为X012P12－pp12则E(X)的最大值为()A．1B．32C．23D．2解析：选B．由分布列的性质可知0≤p≤12，0≤12－p≤12，则0≤p≤12，所以E(X)＝p＋1≤32.2．已知随机变量ξ的分布列为ξ－101P1213m若η＝aξ＋3，E(η)＝73，则a＝()A．1B．2C．3D．4解析：选B．由分布列的性质得12＋13＋m＝1，所以m＝16，所以E(ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，法一：E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－13a＋3＝73.所以a＝2.法二：因为η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：η－a＋33a＋3P121316E(η)＝(－a＋3)×12＋3×13＋(a＋3)×16＝73.所以a＝2.某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返还顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到抽奖券四张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为X，求随机变量X的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y(元)，用X表示Y，并求随机变量Y的均值.两点分布与二项分布的均值【解】(1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X～B4，12.所以P(X＝0)＝C04×124＝116，P(X＝1)＝C14×124＝14.P(X＝2)＝C24×124＝38，P(X＝3)＝C34×124＝14，P(X＝4)＝C44×124＝116.所以离散型随机变量X的分布列为X01234P116143814116(2)因为X～B4，12，所以E(X)＝4×12＝2.又由题意可知Y＝2300－100X，所以E(Y)＝E(2300－100X)＝2300－100E(X)＝2300－100×2＝2100(元)．即所求随机变量Y的均值为2100元．(1)如果随机变量X服从两点分布，则其期望值E(X)＝p(p为成功概率)．(2)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.以上两个特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．1．随机变量X服从两点分布，其分布列如表所示，则E(X)＝()X01P15aA．45B．12C．25D．15解析：选A．由题意知15＋a＝1，所以a＝45，E(X)＝0×15＋1×a＝a＝45.2．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的数学期望．解：(1)依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故ξ＝2时的概率P＝C24(23)2×(13)2＝827.(2)法一：ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，依题意知，P(ξ＝k)＝Ck4(23)k·(13)4－k(k＝0，1，2，3，4)．所以ξ的概率分布列为ξ01234P181881248132811681所以E(ξ)＝0×181＋1×881＋2×2481＋3×3281＋4×1681＝83.法二：因为ξ服从二项分布，即ξ～B(4，23)，所以E(ξ)＝4×23＝83.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：均值问题的实际应用以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【解】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝