2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3

2.3.2离散型随机变量的方差课前自主预习知识点方差、标准差的定义及方差的性质(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称D(X)＝为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的．□01∑ni＝1xi－EX2pi□02标准差(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的越小．□03平均程度□04平均程度知识点两点分布与二项分布的方差XX服从两点分布X～B(n，p)D(X)□01p(1－p)(其中p为成功概率)□02np(1－p)方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)，D(C)＝0(C是常数)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．()(2)若a是常数，则D(a)＝0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．()×√√2．做一做(1)若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为________．(2)设随机变量ξ～B6，12，则D(ξ)＝________.(3)如果X是离散型随机变量，Y＝3X＋2，那么D(Y)＝________D(X)．答案(1)0.5和0.25(2)32(3)9答案解析(1)因为X服从两点分布，所以X的概率分布为X01P0.50.5所以E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.(2)因为随机变量ξ～B6，12，所以D(ξ)＝6×12×1－12＝32.(3)由于X是离散型随机变量，Y＝3X＋2呈线性关系，代入公式，则D(Y)＝32D(X)＝9D(X)．解析课堂互动探究探究1方差及标准差的计算例1已知随机变量X的分布列为X010205060P1325115215115(1)求X的方差及标准差；(2)设Y＝2X－E(X)，求D(Y)．[解](1)E(X)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D(X)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.∴DX＝86.(2)∵Y＝2X－E(X)，∴D(Y)＝D(2X－E(X))＝4D(X)＝4×384＝1536.答案拓展提升求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．[跟踪训练1]已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ－101P121316(1)求ξ的均值、方差和标准差；(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)．解(1)均值E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝59；标准差Dξ＝53.答案(2)E(η)＝2E(ξ)＋3＝73；D(η)＝4D(ξ)＝209.答案探究2两点分布与二项分布的方差例2(1)篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的方差；(2)将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数的方差；(3)老师要从10名同学中随机抽3名同学参加社会实践活动，其中男同学有6名，求抽到男同学人数的方差．[解](1)设一次罚球得分为X，X服从两点分布，即X01P0.30.7∴D(X)＝p(1－p)＝0.7×0.3＝0.21.(2)设正面向上的次数为Y，则Y～B5，12，D(Y)＝np(1－p)＝5×12×12＝1.25.答案(3)设抽到男同学的人数为ξ.ξ服从超几何分布，分布列为ξ0123PC06C34C310C16C24C310C26C14C310C36C04C310即ξ0123P1303101216∴E(ξ)＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝0.3＋1＋0.5＝1.8，D(ξ)＝(0－1.8)2×130＋(1－1.8)2×310＋(2－1.8)2×12＋(3－1.8)2×16＝0.56.答案拓展提升解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．[跟踪训练2](1)若随机变量X的分布列如下表所示X01P0.40.6则E(X)＝________，D(X)＝________；(2)若随机变量X～B(3，p)，D(X)＝23，则p＝________.答案(1)0.60.24(2)13或23答案解析(1)∵E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(X)＝0.6×(1－0.6)＝0.6×0.4＝0.24.(2)∵X～B(3，p)，∴D(X)＝3p(1－p)，由3p(1－p)＝23，得p＝13或p＝23.解析探究3方差的实际应用例3有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．[解]在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分别为D(X甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，D(X乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80.由上面数据，可知E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)D(X乙)．这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．答案拓展提升离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．[跟踪训练3]甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)计算ξ，η的期望与方差，并依此分析甲、乙技术状况．解(1)由离散型随机变量分布列的性质得a＋0.1＋0.6＝1，解得a＝0.3；同理0.3＋b＋0.3＝1，解得b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3；E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2；D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81；D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．答案1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散.2.求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X).特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).随堂达标自测1．已知随机变量X的分布列为X012P131313设Y＝2X＋3，则D(Y)＝()A.83B.53C.23D.13答案A答案解析∵E(X)＝0×13＋1×13＋2×13＝1，∴D(X)＝(0－1)2×13＋(1－1)2×13＋(2－1)2×13＝23，∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝83.解析2．一批产品中，次品率为14，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X，则D(X)的值为()A.43B.83C.34D.116解析由题意，次品件数X服从二项分布，即X～B4，14，故D(X)＝np·(1－p)＝4×14×34＝34.解析答案C答案3．已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n，p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1解析由E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2，D(3ξ＋2)＝9D(ξ)，及ξ～B(n，p)时，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)可知3np＋2＝9.2，9np1－p＝12.96，所以n＝6，p＝0.4.故选B.解析答案B答案4．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________．解析X的分布列为X135P131216则E(X)＝1×13＋3×12＋5×16＝83，D(X)＝179.解析答案179答案5．一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．解(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B6，13，∴E(ξ)＝6×13＝2，D(ξ)＝6×13×1－13＝43.(2)由已知η＝30ξ，∴E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1200.答案本课结束