2019-2020学年高中数学 第二章 数列 第5节 等比数列的前n项和 第2课时 数列求和（习题课

第2课时数列求和（习题课）[思考]若数列cn是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q(q≠1)的等比数列，且an＝cn＋bn，如何求数列an的前n项和？名师指津：数列an的前n项和等于数列cn和bn的前n项和的和．讲一讲1．求和：Sn＝x＋1x2＋x2＋1x22＋…＋xn＋1xn2.[尝试解答]当x≠±1时，Sn＝x＋1x2＋x2＋1x22＋…＋xn＋1xn2＝x2＋2＋1x2＋x4＋2＋1x4＋…＋x2n＋2＋1x2n＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋1x2＋1x4＋…＋1x2n＝x2（x2n－1）x2－1＋x－2（1－x－2n）1－x－2＋2n＝（x2n－1）（x2n＋2＋1）x2n（x2－1）＋2n，当x＝±1时，Sn＝4n.综上知，Sn＝4n，（x＝±1）（x2n－1）（x2n＋2＋1）x2n（x2－1）＋2n.（x≠±1）当一个数列本身既不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和．练一练1．已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＋13an是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.解：(1)∵a1＝3，q1，∴an0.∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0，∴3(anq2＋an)－10anq＝0.∵an≠0，∴3q2－10q＋3＝0.∴q＝3q＝13舍去.∴数列{an}的通项公式为an＝3n.(2)∵bn＋13an是首项为1，公差为2的等差数列，∴bn＋13an＝1＋2(n－1)．∵an＝3n，∴bn＝2n－1－3n－1.即数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1－3n－1.∴Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝－12(3n－1)＋n2.讲一讲2．已知正项等差数列an的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求an的通项公式及Sn；(2)记bn＝an3n的前n项和为Tn，求Tn.[尝试解答](1)设等差数列an的公差为d，∵2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a22＝2a1·(a3＋1)，∴(a1＋d)2＝2a1(a1＋2d＋1)．则有（a1＋d）2＝2a1（a1＋2d＋1），3a1＋3×（3－1）2d＝12，解得a1＝1，d＝3或a1＝8，d＝－4(舍去)，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2.Sn＝（1＋3n－2）n2＝3n22－n2.(2)bn＝an3n＝3n－23n＝(3n－2)·13n，∴Tn＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n－2)×13n.①①×13得，13Tn＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n－5)×13n＋(3n－2)×13n＋1，②①－②，得23Tn＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋…＋3×13n－(3n－2)×13n＋1＝13＋3×1321－13n－11－13－(3n－2)×13n＋1＝56－12×13n－1－(3n－2)×13n＋1.∴Tn＝54－14×13n－2－3n－22×13n＝54－6n＋54×13n.(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列an·bn的前n项和时，可采用错位相减法．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．练一练2．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，a2n＋1＝6Sn＋9n＋1，n∈N*，各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝a1，b3＝a2.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若cn＝an·bn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)∵a2n＋1＝6Sn＋9n＋1，∴a2n＝6Sn－1＋9(n－1)＋1(n≥2)，∴a2n＋1－a2n＝6an＋9(n≥2)，∴a2n＋1＝(an＋3)2.又∵an0，∴an＋1＝an＋3(n≥2)，∴{an}为公差为3的等差数列．∵a2＝4，∴an＝3n－2(n≥2)．∵a22＝6S1＋9＋1，a1＝S1，∴a1＝1，当n＝1时，满足an＝3n－2，∴an＝3n－2(n∈N*)．∵b1＝a1＝1，b3＝a2＝4，∴bn＝2n－1.(2)cn＝(3n－2)·2n－1，Tn＝1·20＋4·21＋…＋(3n－2)·2n－1，2Tn＝1·21＋4·22＋…＋(3n－2)·2n，∴－Tn＝1＋3×(21＋22＋…＋2n－1)－(3n－2)·2n＝1＋6(2n－1－1)－(3n－2)·2n＝(5－3n)·2n－5，Tn＝(3n－5)·2n＋5.讲一讲3．等差数列an的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求an的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列bn的前n项和Tn.[尝试解答](1)由a1＝10，a2为整数知：等差数列an的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0；于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.解得－103≤d≤－52.因此d＝－3.数列an的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝1（13－3n）（10－3n）＝13110－3n－113－3n.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1317－110＋14－17＋…＋110－3n－113－3n＝13110－3n－110＝n10（10－3n）.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：①1n（n＋k）＝1k·1n－1n＋k；②若an为等差数列，公差为d，则1an·an＋1＝1d1an－1an＋1；③1n＋1＋n＝n＋1－n等．练一练3．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；(2)求1S1＋1S2＋…＋1Sn.解：(1)设{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，∵an＞0(n∈N*)，∴d＞0，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有S2b2＝（6＋d）q＝64，S3b3＝（9＋3d）q2＝960，解得d＝2，q＝8或d＝－65，q＝403.(舍去)故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)∵Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，∴1S1＋1S2＋…＋1Sn＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n（n＋2）＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋32（n＋1）（n＋2）.讲一讲4．求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．[尝试解答]当n为奇数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·n－12＋(－2n＋1)＝－n.当n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·n2＝n.∴Sn＝(－1)nn(n∈N*)．当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论．练一练4．已知数列－1，4，－7，10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.解：当n为偶数时，令n＝2k(k∈N*)．Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k·(6k－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]＝3k＝32n；当n为奇数时，令n＝2k＋1(k∈N*)．Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝－3n＋12.∴Sn＝－3n＋12（n为奇数），3n2（n为偶数）.———————[课堂归纳·感悟提升]———————1．本节课要重点掌握数列求和的以下几种常用方法：(1)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(3)分组求和法：①若an＝bn±cn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和；②通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．(4)奇偶并项求和法：一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．2．本节课的难点和易错点是“错位相减法”和“奇偶并项求和法”．如讲2和讲4.